कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{\ln (y)}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = x \frac{y}{\ln (y)}$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{\ln (y)}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} (x \frac{y}{\ln (y)})$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$x$ और $\frac{y}{\ln (y)}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

चरण 1.3.2

$\ln (y)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

चरण 1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

चरण 1.3.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

चरण 1.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

चरण 1.3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = x$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{\ln (y)}{y} d y = x d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{\ln (y)}{y} d y = \int x d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = \ln (y)$ .फिर $d u = \frac{1}{y} d y$ , तो $y d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = \ln (y)$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$\ln (y)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

चरण 2.2.1.1.2

$y$ के संबंध में $\ln (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{y}$ है.

$\frac{1}{y}$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int u d u = \int x d x$

चरण 2.2.2

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int x d x$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\ln (y)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \int x d x$

चरण 2.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln^{2} (y)$ को मिलाएं.

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

चरण 3.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

चरण 3.2.2.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

चरण 3.2.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln^{2} (y) = x^{2} + 2 K$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$\ln (y) = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

चरण 3.3.2

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

चरण 3.3.2.2

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

चरण 3.3.2.3

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

चरण 3.3.2.4

समीकरण को $y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

चरण 3.3.2.5

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

चरण 3.3.2.6

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (y)} = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

चरण 3.3.2.7

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

चरण 3.3.2.8

समीकरण को $y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$ के रूप में फिर से लिखें.