कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 3 x + 2 y$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y$ घटाएं.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 3 x$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - 2 d x}$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{- 2 x + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- 2 x}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{- 2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{- 2 x}$ से गुणा करें.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (3 x)$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (3 x)$

चरण 3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$

चरण 3.4

गुणनखंडों को $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 3 x e^{- 2 x}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 3 x e^{- 2 x}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{- 2 x} y = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- 2 x} y = 3 \int x e^{- 2 x} d x$

चरण 7.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{- 2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$e^{- 2 x}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

चरण 7.3.2

$x$ और $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

चरण 7.3.3

$e^{- 2 x}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

चरण 7.4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

चरण 7.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

चरण 7.5.2

$\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

चरण 7.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

चरण 7.7

मान लीजिए $u = - 2 x$ .फिर $d u = - 2 d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1

मान लें $u = - 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1.1

$- 2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 7.7.1.2

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \cdot 1$

चरण 7.7.1.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2$

चरण 7.7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

चरण 7.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

चरण 7.8.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

चरण 7.9

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

चरण 7.10

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

चरण 7.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.11.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

चरण 7.11.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

चरण 7.12

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

चरण 7.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.13.1

$3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ को $3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

चरण 7.13.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.13.2.1

$x$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

चरण 7.13.2.2

$e^{- 2 x}$ और $\frac{x}{2}$ को मिलाएं.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

चरण 7.13.2.3

$e^{u}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

चरण 7.14

$u$ की सभी घटनाओं को $- 2 x$ से बदलें.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

चरण 7.15

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x}) + C$

चरण 8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$e^{- 2 x}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{2} \cdot x - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

चरण 8.1.2

$x$ और $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

चरण 8.1.3

$e^{- 2 x}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

चरण 8.2

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- 2 x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- 2 x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$e^{- 2 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2}) + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.2

$3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.2.2.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 3 \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.2.2

$- 3$ और $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.3

$3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.2.3.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} - 3 \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.3.2

$- 3$ और $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.2.4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.5

$- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.6

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.2.6.1

$\frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.6.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\frac{- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.2.8.1

$- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}$ में से $3 e^{- 2 x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.2.8.1.1

$- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2$ में से $3 e^{- 2 x}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.8.1.2

$- 3 e^{- 2 x}$ में से $3 e^{- 2 x}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.8.1.3

$3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)$ में से $3 e^{- 2 x}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.8.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.9

$C$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.10

$C$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.12

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.2.12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x) + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.12.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.12.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.12.4

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.2.12.5

$4$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.4

$\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ को $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.5

$- 6 e^{- 2 x} x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.6

$- 3 e^{- 2 x}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.7

$- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.8

$4 C$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.9

$- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.10.1

$- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ को $- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.10.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

चरण 8.2.3.10.3

गुणनखंडों को $- \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ में पुन: क्रमित करें.

$y = - \frac{6 x e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$