कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$ , $r (1) = e$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$r θ + r$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$r θ$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

चरण 1.1.2

$r$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

चरण 1.1.3

$r^{1}$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

चरण 1.1.4

$r (θ) + r \cdot 1$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

चरण 1.2

$r θ + θ$ में से $θ$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$r θ$ में से $θ$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

चरण 1.2.2

$θ$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

चरण 1.2.3

$θ^{1}$ में से $θ$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

चरण 1.2.4

$θ r + θ \cdot 1$ में से $θ$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

चरण 1.3

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

चरण 1.4

दोनों पक्षों को $\frac{r + 1}{r}$ से गुणा करें.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$\frac{r}{r + 1}$ को $\frac{θ + 1}{θ}$ से गुणा करें.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

चरण 1.5.2

$r + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$(r + 1) θ$ में से $r + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

चरण 1.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

चरण 1.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

चरण 1.5.3

$r$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

चरण 1.5.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

चरण 1.6

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

चरण 2.2.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

चरण 2.2.3

$r$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

चरण 2.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

चरण 2.2.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

चरण 2.2.5

$r$ के संबंध में $\frac{1}{r}$ का इंटीग्रल $\ln (| r |)$ है.

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

चरण 2.2.6

सरल करें.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

चरण 2.3.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

चरण 2.3.3

$θ$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

चरण 2.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

चरण 2.3.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

चरण 2.3.5

$θ$ के संबंध में $\frac{1}{θ}$ का इंटीग्रल $\ln (| θ |)$ है.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

चरण 2.3.6

सरल करें.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$

चरण 3

$θ$ के लिए $1$ और $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ में $r$ के लिए $e$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$e + \ln (| e |) = 1 + \ln (| 1 |) + C$

चरण 4

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$

चरण 4.2

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| 1 |) - \ln (| e |) = - 1 - C + e$

चरण 4.3

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 1 |}{| e |}) = - 1 - C + e$

चरण 4.4

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\ln (\frac{1}{| e |}) = - 1 - C + e$

चरण 4.5

$e$ लगभग $2.71828182$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\ln (\frac{1}{e}) = - 1 - C + e$

चरण 4.6

$\frac{1}{e}$ को $1 e^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (1 e^{- 1}) = - 1 - C + e$

चरण 4.7

$\ln (1 e^{- 1})$ को $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (1) + \ln (e^{- 1}) = - 1 - C + e$

चरण 4.8

$- 1$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$\ln (1) - \ln (e) = - 1 - C + e$

चरण 4.9

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\ln (1) - 1 \cdot 1 = - 1 - C + e$

चरण 4.10

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (1) - 1 = - 1 - C + e$

चरण 4.11

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$0 - 1 = - 1 - C + e$

चरण 4.12

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- 1 = - 1 - C + e$

चरण 4.13

चूंकि $C$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

$- 1 - C + e = - 1$

चरण 4.14

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$- C + e = - 1 + 1$

चरण 4.14.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $e$ घटाएं.

$- C = - 1 + 1 - e$

चरण 4.14.3

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$- C = 0 - e$

चरण 4.14.4

$0$ में से $e$ घटाएं.

$- C = - e$

चरण 4.15

$- C = - e$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.15.1

$- C = - e$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- C}{- 1} = \frac{- e}{- 1}$

चरण 4.15.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.15.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{C}{1} = \frac{- e}{- 1}$

चरण 4.15.2.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = \frac{- e}{- 1}$

चरण 4.15.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.15.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$C = \frac{e}{1}$

चरण 4.15.3.2

$e$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = e$

चरण 5

$e$ को $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$e$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + e$