कैलकुलस उदाहरण

$e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2}) d x + e^{x^{3}} d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})]$

चरण 1.2

चूंकि $e^{x^{3}}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ का व्युत्पन्न $e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$

चरण 1.3

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 x^{2} y - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

चरण 1.4

चूंकि $3 x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 x^{2} y$ का व्युत्पन्न $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

चरण 1.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

चरण 1.6

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

चरण 1.7

चूंकि $y$ के संबंध में $- x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + 0)$

चरण 1.8

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

चरण 1.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.9.1

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

चरण 1.9.2

गुणनखंडों को $3 e^{x^{3}} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = e^{x^{3}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x^{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{3}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3}$ से बदलें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

चरण 2.4.2

गुणनखंडों को $3 e^{x^{3}} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3 x^{2} e^{x^{3}}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $3 x^{2} e^{x^{3}}$ प्रतिस्थापित करें.

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int e^{x^{3}} d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = e^{x^{3}}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y + g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x^{3}} y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $e^{x^{3}} y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$ है.

$y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

चरण 8.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{3}$ के रूप में सेट करें.

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

चरण 8.3.2.2

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

चरण 8.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3}$ से बदलें.

$y (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

चरण 8.3.3

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d g}{d x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

चरण 8.5.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 0 + 0 + e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

चरण 9.1.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

चरण 9.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

चरण 9.1.1.4

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.4.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

चरण 9.1.1.4.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$

चरण 9.1.1.4.3

गुणनखंडों को $3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}}$

चरण 9.1.2

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$

चरण 9.1.2.2

$3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.2.1

$3 x^{2} y e^{x^{3}}$ में से $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}} + 0$

चरण 9.1.2.2.2

$- x^{2} e^{x^{3}}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $- x^{2} e^{x^{3}}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

चरण 10.3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = - \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

चरण 10.4

मान लीजिए $u_{2} = e^{x^{3}}$ .फिर $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , तो $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

मान लें $u_{2} = e^{x^{3}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1.1

$e^{x^{3}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

चरण 10.4.1.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{3}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 10.4.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 10.4.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{3}$ से बदलें.

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 10.4.1.3

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

चरण 10.4.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1.4.1

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

चरण 10.4.1.4.2

गुणनखंडों को $3 e^{x^{3}} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

चरण 10.4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (x) = - \int \frac{1}{3} d u_{2}$

चरण 10.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (x) = - (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

चरण 10.6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.6.1

$- (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ को $- \frac{1}{3} u_{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = - \frac{1}{3} u_{2} + C$

चरण 10.6.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{x^{3}}$ से बदलें.

$g (x) = - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

चरण 11

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

चरण 12

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$e^{x^{3}}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

चरण 12.2

$e^{x^{3}} y$ में से $\frac{e^{x^{3}}}{3}$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$e^{x^{3}}$ और $y$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = y e^{x^{3}} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

चरण 12.2.2

$y e^{x^{3}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = y e^{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

चरण 12.2.3

$y e^{x^{3}}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

चरण 12.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3 - e^{x^{3}}}{3} + C$

चरण 12.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$3$ को $y e^{x^{3}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{3 \cdot (y e^{x^{3}}) - e^{x^{3}}}{3} + C$

चरण 12.3.2

$3 y e^{x^{3}} - e^{x^{3}}$ में से $e^{x^{3}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1

$3 y e^{x^{3}}$ में से $e^{x^{3}}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) - e^{x^{3}}}{3} + C$

चरण 12.3.2.2

$- e^{x^{3}}$ में से $e^{x^{3}}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1}{3} + C$

चरण 12.3.2.3

$e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1$ में से $e^{x^{3}}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y - 1)}{3} + C$