कैलकुलस उदाहरण

$2 x y d x + (x^{2} - 1) d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y d x$ घटाएं.

$(x^{2} - 1) d y = - 2 x y d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(x^{2} - 1) y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x^{2} - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$(x^{2} - 1) y$ में से $x^{2} - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y)} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x y) d x$

चरण 3.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1^{2}) y} (x y) d x$

चरण 3.3.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

चरण 3.4

$- 2$ और $\frac{1}{(x + 1) (x - 1) y}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

चरण 3.5

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$(x + 1) (x - 1) y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (x y) d x$

चरण 3.5.2

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

चरण 3.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

चरण 3.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)} x d x$

चरण 3.6

$\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

चरण 3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

चरण 4.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

चरण 4.3.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x)$

चरण 4.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

चरण 4.3.4

मान लीजिए $u = (x + 1) (x - 1)$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

मान लें $u = (x + 1) (x - 1)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1.1

$(x + 1) (x - 1)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

चरण 4.3.4.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = x - 1$ है.

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 4.3.4.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 4.3.4.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 4.3.4.1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 4.3.4.1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 4.3.4.1.3.4.2

$x + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 4.3.4.1.3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 4.3.4.1.3.6

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 4.3.4.1.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

चरण 4.3.4.1.3.8

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1.3.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

चरण 4.3.4.1.3.8.2

$x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x + 1 + x - 1$

चरण 4.3.4.1.3.8.3

$x$ और $x$ जोड़ें.

$2 x + 1 - 1$

चरण 4.3.4.1.3.8.4

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1.3.8.4.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$2 x + 0$

चरण 4.3.4.1.3.8.4.2

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 4.3.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 4.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 4.3.5.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 4.3.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 4.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

चरण 4.3.9

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 4.3.10

$u$ की सभी घटनाओं को $(x + 1) (x - 1)$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) + \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

चरण 5.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| y | | (x + 1) (x - 1) |) = C$

चरण 5.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 1) (x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y | | x (x - 1) + 1 (x - 1) |) = C$

चरण 5.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) = C$

चरण 5.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

चरण 5.4

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\ln (| y | | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

चरण 5.4.1.2

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y | | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

चरण 5.4.1.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| y | | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

चरण 5.4.1.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| y | | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) = C$

चरण 5.4.1.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| y | | x^{2} - x + x - 1 |) = C$

चरण 5.4.2

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\ln (| y | | x^{2} + 0 - 1 |) = C$

चरण 5.4.3

$x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\ln (| y | | x^{2} - 1 |) = C$

चरण 5.5

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\ln (| y (x^{2} - 1) |) = C$

चरण 5.6

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 1 |) = C$

चरण 5.6.2

$- 1$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y x^{2} - 1 \cdot y |) = C$

चरण 5.7

$- 1 y$ को $- y$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| y x^{2} - y |) = C$

चरण 5.8

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y x^{2} - y |)} = e^{C}$

चरण 5.9

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y x^{2} - y |) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = | y x^{2} - y |$

चरण 5.10

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.10.1

समीकरण को $| y x^{2} - y | = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y x^{2} - y | = e^{C}$

चरण 5.10.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y x^{2} - y = \pm e^{C}$

चरण 5.10.3

$y x^{2} - y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.10.3.1

$y x^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (x^{2}) - y = \pm e^{C}$

चरण 5.10.3.2

$- y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (x^{2}) + y \cdot - 1 = \pm e^{C}$

चरण 5.10.3.3

$y (x^{2}) + y \cdot - 1$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (x^{2} - 1) = \pm e^{C}$

चरण 5.10.4

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{C}$

चरण 5.10.5

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.10.5.1

$y ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{C}$

चरण 5.10.5.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$

चरण 5.10.6

$y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ के प्रत्येक पद को $(x + 1) (x - 1)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.10.6.1

$y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ के प्रत्येक पद को $(x + 1) (x - 1)$ से विभाजित करें.

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 5.10.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.10.6.2.1

$x + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.10.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 5.10.6.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 5.10.6.2.2

$x - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.10.6.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 5.10.6.2.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 6

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$