कैलकुलस उदाहरण

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

चरण 1

मान लें $y = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\sqrt{x})}^{x})$

चरण 2

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\ln (y) = \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$

चरण 2.2

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$ का प्रसार करें.

$\ln (y) = x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

चरण 2.3

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ का प्रसार करें.

$\ln (y) = x (\frac{1}{2} \ln (x))$

चरण 2.4

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\ln (y) = \frac{x}{2} \ln (x)$

चरण 2.5

$\frac{x}{2}$ और $\ln (x)$ को मिलाएं.

$\ln (y) = \frac{x \ln (x)}{2}$

चरण 3

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \ln (x)}{2}$

चरण 3.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{x \ln (x)}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

चरण 3.2.2

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x \ln (x)}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

चरण 3.2.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2.4

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2.5.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2.5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 3.2.5.4

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x))$

चरण 3.2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \ln (x)$

चरण 3.2.6.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln (x)$

चरण 3.2.6.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}$

चरण 3.2.6.4

$\frac{1}{2}$ और $\ln (x)$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 4

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

चरण 5

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\frac{\ln (x)}{2}$ को $\frac{1}{2} \ln (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = (\frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

चरण 5.1.2

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (x)$ को सरल करें.

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{1}{2} {\sqrt{x}}^{x}$

चरण 5.3

$\frac{1}{2}$ और ${\sqrt{x}}^{x}$ को मिलाएं.

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$

चरण 5.4

गुणनखंडों को $\ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = {\sqrt{x}}^{x} \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$