एलजेब्रा उदाहरण

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) < 5$

चरण 1

असमानता को समानता में बदलें.

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) = 5$

चरण 2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\log_{2} (x (x + 4)) = 5$

चरण 2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 4) = 5$

चरण 2.1.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 4) = 5$

चरण 2.1.3.2

$4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$

चरण 2.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$2^{5} = x^{2} + 4 x$

चरण 2.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

समीकरण को $x^{2} + 4 x = 2^{5}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} + 4 x = 2^{5}$

चरण 2.3.2

$2$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{2} + 4 x = 32$

चरण 2.3.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $32$ घटाएं.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

चरण 2.3.4

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 4 x - 32$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 32$ है और जिसका योग $4$ है.

$- 4, 8$

चरण 2.3.4.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

चरण 2.3.5

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

चरण 2.3.6

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 2.3.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 2.3.7

$x + 8$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$x + 8$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 8 = 0$

चरण 2.3.7.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$x = - 8$

चरण 2.3.8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 4) (x + 8) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 4, - 8$

चरण 3

$\log_{2} (x^{2} + 4 x) - 5$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ परिभाषित है, तर्क को $\log_{2} (x^{2} + 4 x)$ से बड़ा $0$ में सेट करें.

$x^{2} + 4 x > 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

असमानता को समीकरण में बदलें.

$x^{2} + 4 x = 0$

चरण 3.2.2

$x^{2} + 4 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x + 4 x = 0$

चरण 3.2.2.2

$4 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x + x \cdot 4 = 0$

चरण 3.2.2.3

$x \cdot x + x \cdot 4$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x + 4) = 0$

चरण 3.2.3

$x = 0$

$x + 4 = 0$

चरण 3.2.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 3.2.5

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 3.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 3.2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x (x + 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 4$

चरण 3.2.7

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$x > 0$

चरण 3.2.8

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.1

अंतराल $x < - 4$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.1.1

अंतराल $x < - 4$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 6$

चरण 3.2.8.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 6$ से बदलें.

${(- 6)}^{2} + 4 (- 6) > 0$

चरण 3.2.8.1.3

बाईं ओर $12$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 3.2.8.2

अंतराल $- 4 < x < 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.2.1

अंतराल $- 4 < x < 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 2$

चरण 3.2.8.2.2

मूल असमानता में $x$ को $- 2$ से बदलें.

${(- 2)}^{2} + 4 (- 2) > 0$

चरण 3.2.8.2.3

बाईं ओर $- 4$ दाईं ओर $0$ से बड़ा नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 3.2.8.3

अंतराल $x > 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.3.1

अंतराल $x > 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 2$

चरण 3.2.8.3.2

मूल असमानता में $x$ को $2$ से बदलें.

${(2)}^{2} + 4 (2) > 0$

चरण 3.2.8.3.3

बाईं ओर $12$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 3.2.8.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 4$ सही

$- 4 < x < 0$ गलत

$x > 0$ सही

$x < - 4$ सही

$- 4 < x < 0$ गलत

$x > 0$ सही

चरण 3.2.9

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x < - 4$ या $x > 0$

चरण 3.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

चरण 4

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

चरण 5

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

अंतराल $x < - 8$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

अंतराल $x < - 8$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 10$

चरण 5.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 10$ से बदलें.

$\log_{2} (- 10) + \log_{2} ((- 10) + 4) < 5$

चरण 5.1.3

निर्धारित करें कि क्या असमानता सत्य है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

समीकरण को हल नहीं किया जा सकता क्योंकि यह अपरिभाषित है.

$अपरिभाषित$

चरण 5.1.3.2

बाईं ओर का कोई हल नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन असत्य है.

असत्य

चरण 5.2

अंतराल $- 8 < x < - 4$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

अंतराल $- 8 < x < - 4$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 6$

चरण 5.2.2

मूल असमानता में $x$ को $- 6$ से बदलें.

$\log_{2} (- 6) + \log_{2} ((- 6) + 4) < 5$

चरण 5.2.3

निर्धारित करें कि क्या असमानता सत्य है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

समीकरण को हल नहीं किया जा सकता क्योंकि यह अपरिभाषित है.

$अपरिभाषित$

चरण 5.2.3.2

बाईं ओर का कोई हल नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन असत्य है.

असत्य

चरण 5.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$x = - 2$

चरण 5.3.2

मूल असमानता में $x$ को $- 2$ से बदलें.

$\log_{2} (- 2) + \log_{2} ((- 2) + 4) < 5$

चरण 5.3.3

निर्धारित करें कि क्या असमानता सत्य है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

समीकरण को हल नहीं किया जा सकता क्योंकि यह अपरिभाषित है.

$अपरिभाषित$

चरण 5.3.3.2

बाईं ओर का कोई हल नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन असत्य है.

असत्य

चरण 5.4

अंतराल $0 < x < 4$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

अंतराल $0 < x < 4$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 2$

चरण 5.4.2

मूल असमानता में $x$ को $2$ से बदलें.

$\log_{2} (2) + \log_{2} ((2) + 4) < 5$

चरण 5.4.3

बाईं ओर $3.5849625$ दाईं ओर $5$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 5.5

अंतराल $x > 4$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

अंतराल $x > 4$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 6$

चरण 5.5.2

मूल असमानता में $x$ को $6$ से बदलें.

$\log_{2} (6) + \log_{2} ((6) + 4) < 5$

चरण 5.5.3

बाईं ओर $5.90689059$ दाईं ओर $5$ से कम नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 5.6

$x < - 8$ गलत

$- 8 < x < - 4$ गलत

$- 4 < x < 0$ गलत

$0 < x < 4$ सही

$x > 4$ गलत

$x < - 8$ गलत

$- 8 < x < - 4$ गलत

$- 4 < x < 0$ गलत

$0 < x < 4$ सही

$x > 4$ गलत

चरण 6

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$0 < x < 4$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

असमानता रूप:

$0 < x < 4$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(0, 4)$

चरण 8