ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$\cos (6 x)$

चरण 1

डी मोइवर के प्रमेय $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ का उपयोग करके $\cos (6 x)$ का विस्तार करने का एक अच्छा तरीका है. जब $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ हो.

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

चरण 2

द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ के दायें ओर के पक्ष का प्रसार करें.

प्रसार करें: ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{6}$

चरण 3

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) (i \sin (x)) + 15 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{2} + 20 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 15 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

उत्पाद नियम को $i \sin (x)$ पर लागू करें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) + 15 \cos^{4} (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + 20 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 15 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) + 15 \cdot i^{2} \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) + 20 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 15 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.3

$i^{2}$ को $- 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) + 15 \cdot - 1 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) + 20 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 15 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.4

$15$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) + 20 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 15 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.5

उत्पाद नियम को $i \sin (x)$ पर लागू करें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) + 20 \cos^{3} (x) (i^{3} \sin^{3} (x)) + 15 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.6

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) + 20 \cdot i^{3} \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.7

$i^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) + 20 \cdot (i^{2} \cdot i) \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.8

$i^{2}$ को $- 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) + 20 \cdot (- 1 \cdot i) \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.9

$- 1 i$ को $- i$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) + 20 \cdot (- i) \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.10

$- 1$ को $20$ से गुणा करें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.11

उत्पाद नियम को $i \sin (x)$ पर लागू करें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) (i^{4} \sin^{4} (x)) + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.12

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cdot i^{4} \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.13

$i^{4}$ को $1$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.13.1

$i^{4}$ को ${(i^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cdot {(i^{2})}^{2} \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.13.2

$i^{2}$ को $- 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cdot {(- 1)}^{2} \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.13.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cdot 1 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.14

$15$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) {(i \sin (x))}^{5} + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.15

उत्पाद नियम को $i \sin (x)$ पर लागू करें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) (i^{5} \sin^{5} (x)) + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.16

$i^{4}$ का गुणनखंड करें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) (i^{4} i \sin^{5} (x)) + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.17

$i^{4}$ को $1$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.17.1

$i^{4}$ को ${(i^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) ({(i^{2})}^{2} i \sin^{5} (x)) + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.17.2

$i^{2}$ को $- 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) ({(- 1)}^{2} i \sin^{5} (x)) + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.17.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) (1 i \sin^{5} (x)) + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.18

$i$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) (i \sin^{5} (x)) + {(i \sin (x))}^{6}$

चरण 4.1.19

उत्पाद नियम को $i \sin (x)$ पर लागू करें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) i \sin^{5} (x) + i^{6} \sin^{6} (x)$

चरण 4.1.20

$i^{4}$ का गुणनखंड करें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) i \sin^{5} (x) + i^{4} i^{2} \sin^{6} (x)$

चरण 4.1.21

$i^{4}$ को $1$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.21.1

$i^{4}$ को ${(i^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) i \sin^{5} (x) + {(i^{2})}^{2} i^{2} \sin^{6} (x)$

चरण 4.1.21.2

$i^{2}$ को $- 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) i \sin^{5} (x) + {(- 1)}^{2} i^{2} \sin^{6} (x)$

चरण 4.1.21.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) i \sin^{5} (x) + 1 i^{2} \sin^{6} (x)$

चरण 4.1.22

$i^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) i \sin^{5} (x) + i^{2} \sin^{6} (x)$

चरण 4.1.23

$i^{2}$ को $- 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) i \sin^{5} (x) - 1 \sin^{6} (x)$

चरण 4.1.24

$- 1 \sin^{6} (x)$ को $- \sin^{6} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) i \sin^{5} (x) - \sin^{6} (x)$

चरण 4.2

गुणनखंडों को $\cos^{6} (x) + 6 \cos^{5} (x) i \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 \cos (x) i \sin^{5} (x) - \sin^{6} (x)$ में पुन: क्रमित करें.

$\cos^{6} (x) + 6 i \cos^{5} (x) \sin (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) - 20 i \cos^{3} (x) \sin^{3} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) + 6 i \cos (x) \sin^{5} (x) - \sin^{6} (x)$

चरण 5

उन व्यंजकों को काल्पनिक भाग से निकालें, जो $\cos (6 x)$ के बराबर हों. काल्पनिक संख्या $i$ को हटाएं.

$\cos (6 x) = \cos^{6} (x) - 15 \cos^{4} (x) \sin^{2} (x) + 15 \cos^{2} (x) \sin^{4} (x) - \sin^{6} (x)$

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