सांख्यिकी उदाहरण

\begin{matrix} Class & Frequency 90 - 99 & 4 80 - 89 & 6 70 - 79 & 4 60 - 69 & 3 50 - 59 & 2 40 - 49 & 1 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency \\ 90 - 99 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 70 - 79 & 4 \\ 60 - 69 & 3 \\ 50 - 59 & 2 \\ 40 - 49 & 1 \end{array}$

चरण 1

कक्षाओं को उनकी संबंधित आवृत्तियों के साथ आरोही क्रम (सबसे कम संख्या से उच्चतम) में पुन: व्यवस्थित करें, जो सबसे उभयनिष्ठ है.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) 40 - 49 & 1 50 - 59 & 2 60 - 69 & 3 70 - 79 & 4 80 - 89 & 6 90 - 99 & 4 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) \\ 40 - 49 & 1 \\ 50 - 59 & 2 \\ 60 - 69 & 3 \\ 70 - 79 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 90 - 99 & 4 \end{array}$

चरण 2

प्रत्येक वर्गीकरण के लिए मध्य बिंदु

M

$M$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक वर्ग के लिए निचली सीमा उस वर्ग में सबसे छोटा मान है. दूसरी ओर, प्रत्येक वर्ग के लिए ऊपरी सीमा उस वर्ग में सबसे बड़ा मान है.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits 40 - 49 & 1 & 40 & 49 50 - 59 & 2 & 50 & 59 60 - 69 & 3 & 60 & 69 70 - 79 & 4 & 70 & 79 80 - 89 & 6 & 80 & 89 90 - 99 & 4 & 90 & 99 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 \end{array}$

चरण 2.2

वर्ग मध्यबिंदु निम्न वर्ग सीमा है और ऊपरी वर्ग सीमा

2

$2$ से विभाजित है.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & \frac{40 + 49}{2} 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & \frac{50 + 59}{2} 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & \frac{60 + 69}{2} 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & \frac{70 + 79}{2} 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & \frac{80 + 89}{2} 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & \frac{90 + 99}{2} \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & \frac{40 + 49}{2} \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & \frac{50 + 59}{2} \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & \frac{60 + 69}{2} \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & \frac{70 + 79}{2} \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & \frac{80 + 89}{2} \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & \frac{90 + 99}{2} \end{array}$

चरण 2.3

सभी मध्य बिंदु कॉलम को सरल करें.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & 44.5 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & 54.5 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & 64.5 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & 74.5 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & 84.5 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & 94.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & 94.5 \end{array}$

चरण 2.4

मध्यबिंदु कॉलम को मूल तालिका में जोड़ें.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) 40 - 49 & 1 & 44.5 50 - 59 & 2 & 54.5 60 - 69 & 3 & 64.5 70 - 79 & 4 & 74.5 80 - 89 & 6 & 84.5 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{array}$

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) 40 - 49 & 1 & 44.5 50 - 59 & 2 & 54.5 60 - 69 & 3 & 64.5 70 - 79 & 4 & 74.5 80 - 89 & 6 & 84.5 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{array}$

चरण 3

प्रत्येक समूह के मध्य बिंदु

M^{2}

$M^{2}$ के वर्ग की गणना करें.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} 40 - 49 & 1 & 44.5 & {44.5}^{2} 50 - 59 & 2 & 54.5 & {54.5}^{2} 60 - 69 & 3 & 64.5 & {64.5}^{2} 70 - 79 & 4 & 74.5 & {74.5}^{2} 80 - 89 & 6 & 84.5 & {84.5}^{2} 90 - 99 & 4 & 94.5 & {94.5}^{2} \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & {44.5}^{2} \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & {54.5}^{2} \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & {64.5}^{2} \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & {74.5}^{2} \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & {84.5}^{2} \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & {94.5}^{2} \end{array}$

चरण 4

M^{2}

$M^{2}$ कॉलम को सरल करें.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 \end{array}$

चरण 5

प्रत्येक मध्यबिंदु के वर्ग को उसकी आवृत्ति

f

$f$ से गुणा करें.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1 \cdot 1980.25 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 2 \cdot 2970.25 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 3 \cdot 4160.25 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 4 \cdot 5550.25 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 6 \cdot 7140.25 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 4 \cdot 8930.25 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1 \cdot 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 2 \cdot 2970.25 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 3 \cdot 4160.25 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 4 \cdot 5550.25 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 6 \cdot 7140.25 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 4 \cdot 8930.25 \end{array}$

चरण 6

f \cdot M^{2}

$f \cdot M^{2}$ कॉलम को सरल करें.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1980.25 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 5940.5 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 12480.75 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 22201 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 42841.5 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 35721 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 5940.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 12480.75 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 22201 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 42841.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 35721 \end{array}$

चरण 7

सभी आवृत्तियों का योग पता करें. इस मामले में, सभी आवृत्तियों का योग

n = 1, 2, 3, 4, 6, 4 = 20

$n = 1, 2, 3, 4, 6, 4 = 20$ है.

\sum f = n = 20

$\sum_{}^{} f = n = 20$

चरण 8

1980.25 + 5940.5 + 12480.75 + 22201 + 42841.5 + 35721 = 121165

$1980.25 + 5940.5 + 12480.75 + 22201 + 42841.5 + 35721 = 121165$ , इस मामले में.

f \cdot M^{2}

$f \cdot M^{2}$ कॉलम का योग पता करें.

\sum f \cdot M^{2} = 121165

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 121165$

चरण 9

माध्य

μ

$μ$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

Reorder the classes with their related frequencies (ƒ) in an ascending order (lowest number to highest), which is the most common.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) 40 - 49 & 1 50 - 59 & 2 60 - 69 & 3 70 - 79 & 4 80 - 89 & 6 90 - 99 & 4 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) \\ 40 - 49 & 1 \\ 50 - 59 & 2 \\ 60 - 69 & 3 \\ 70 - 79 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 90 - 99 & 4 \end{array}$

चरण 9.2

प्रत्येक वर्ग के लिए मध्य बिंदु

M

$M$ पता करें.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) 40 - 49 & 1 & 44.5 50 - 59 & 2 & 54.5 60 - 69 & 3 & 64.5 70 - 79 & 4 & 74.5 80 - 89 & 6 & 84.5 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{array}$

चरण 9.3

प्रत्येक वर्ग की बारंबारता को वर्ग के मध्य बिंदु से गुणा करें.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1 \cdot 44.5 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2 \cdot 54.5 60 - 69 & 3 & 64.5 & 3 \cdot 64.5 70 - 79 & 4 & 74.5 & 4 \cdot 74.5 80 - 89 & 6 & 84.5 & 6 \cdot 84.5 90 - 99 & 4 & 94.5 & 4 \cdot 94.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1 \cdot 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2 \cdot 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 3 \cdot 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 4 \cdot 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 6 \cdot 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 4 \cdot 94.5 \end{array}$

चरण 9.4

$f \cdot M$ कॉलम को सरल करें.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 109 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 193.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 298 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 507 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 378 \end{array}$

चरण 9.5

$f \cdot M$ कॉलम में मान जोड़ें.

$44.5 + 109 + 193.5 + 298 + 507 + 378 = 1530$

चरण 9.6

आवर्त कॉलम में मान जोड़ें.

$n = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 4 = 20$

चरण 9.7

माध्य (mu)

$f \cdot M$ का योग

$n$ से विभाजित है, जो आवृत्तियों का योग है.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

चरण 9.8

माध्य मध्यबिंदुओं और आवृत्तियों के गुणनफल का योग है जो कुल आवृत्तियों से विभाजित होता है.

$μ = \frac{1530}{20}$

चरण 9.9

$μ = \frac{1530}{20}$ के दाईं ओर सरल करें.

$76.5$

चरण 10

मानक विचलन का समीकरण

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ है.

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

चरण 11

परिकलित मानों को

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ में प्रतिस्थापित करें.

$S^{2} = \frac{121165 - 20 {(76.5)}^{2}}{20 - 1}$

चरण 12

प्रसरण

$S^{2} = 216.84210526$ प्राप्त करने के लिए

$S^{2} = \frac{121165 - 20 {(76.5)}^{2}}{20 - 1}$ के दाईं ओर सरल करें.

$216.84210526$

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