प्री-कैलकुलस उदाहरण

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ ,

x - 1

$x - 1$

चरण 1

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ को कृत्रिम विभाजन का उपयोग करके विभाजित करें और जांचें कि क्या शेष

0

$0$ के बराबर है. यदि शेष

0

$0$ के बराबर है, तो इसका अर्थ है कि

x - 1

$x - 1$ ,

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ का एक गुणनखंड है. यदि शेष

0

$0$ के बराबर नहीं है, तो इसका मतलब है कि

x - 1

$x - 1$ ,

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ का गुणनखंड नहीं है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

चरण 1.2

भाज्य

(1)

$(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

	$1$ $1$

चरण 1.3

परिणाम

(1)

$(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक

(1)

$(1)$ से गुणा करें और

(1)

$(1)$ के परिणाम को भाज्य

(- 2)

$(- 2)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$
	$1$ $1$

चरण 1.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

चरण 1.5

परिणाम

(- 1)

$(- 1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक

(1)

$(1)$ से गुणा करें और

(- 1)

$(- 1)$ के परिणाम को भाज्य

(- 10)

$(- 10)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

चरण 1.6

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$

चरण 1.7

परिणाम

(- 11)

$(- 11)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक

(1)

$(1)$ से गुणा करें और

(- 11)

$(- 11)$ के परिणाम को भाज्य

(7)

$(7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$

चरण 1.8

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

चरण 1.9

परिणाम

(- 4)

$(- 4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक

(1)

$(1)$ से गुणा करें और

(- 4)

$(- 4)$ के परिणाम को भाज्य

(4)

$(4)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

चरण 1.10

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$	$0$ $0$

चरण 1.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4$

चरण 1.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

चरण 2

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ को विभाजित करने से शेषफल

0

$0$ है, जिसका अर्थ है कि

x - 1

$x - 1$ ,

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ का एक गुणनखंड है.

x - 1

$x - 1$ ,

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ के लिए एक गुणनखंड है

चरण 3

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ के लिए सभी संभावित मूल पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ होगा, जहां

p

$p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और

q

$q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

p = \pm 1, \pm 2, \pm 4

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

चरण 3.2

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

\pm 1, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

\pm 1, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

चरण 4

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या

x - 4

$x - 4$ बहुपद

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ का एक गुणनखंड है, अगला भाग सेट करें.

\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}

$\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह बहुपद का एक गुणनखंड है, कृत्रिम विभाजन का उपयोग करके व्यंजक को विभाजित करें. चूँकि

x - 4

$x - 4$ समान रूप से

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ में विभाजित होता है,

x - 4

$x - 4$ बहुपद का एक गुणनखंड है और

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$ का शेष बहुपद है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

चरण 5.2

भाज्य

(1)

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

	$1$ $1$

चरण 5.3

परिणाम

(1)

$(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक

(4)

$(4)$ से गुणा करें और

(4)

$(4)$ के परिणाम को भाज्य

(- 1)

$(- 1)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$
	$1$ $1$

चरण 5.4

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$

चरण 5.5

परिणाम

(3)

$(3)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक

(4)

$(4)$ से गुणा करें और

(12)

$(12)$ के परिणाम को भाज्य

(- 11)

$(- 11)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$
	$1$ $1$	$3$ $3$

चरण 5.6

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$

चरण 5.7

परिणाम

(1)

$(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक

(4)

$(4)$ से गुणा करें और

(4)

$(4)$ के परिणाम को भाज्य

(- 4)

$(- 4)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$	$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$

चरण 5.8

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$	$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$	$0$ $0$

चरण 5.9

1 x^{2} + 3 x + 1

$1 x^{2} + 3 x + 1$

चरण 5.10

भागफल बहुपद को सरल करें.

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

चरण 6

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$ के लिए सभी संभावित मूल पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ होगा, जहां

p

$p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और

q

$q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

p = \pm 1

$p = \pm 1$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

चरण 6.2

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

\pm 1

$\pm 1$

\pm 1

$\pm 1$

चरण 7

अंतिम गुणनखंड कृत्रिम विभाजन से बचा हुआ एकमात्र गुणनखंड है.

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

चरण 8

गुणनखंडित बहुपद

(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$ है.

(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$

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