उदाहरण

$(5, 1)$ , $(4, 1)$ , $(- 5, 1)$

चरण 1

अतिपरवलय के लिए दो सामान्य समीकरण हैं.

क्षैतिज अतिपरवलय समीकरण $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय समीकरण $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 2

$a$ शीर्ष $(4, 1)$ और केंद्र बिंदु $(5, 1)$ के बीच की दूरी है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दो बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करें.

$दूरी = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

चरण 2.2

बिंदुओं के वास्तविक मानों को दूरी सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$4$ में से $5$ घटाएं.

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

चरण 2.3.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$a = \sqrt{1 + {(1 - 1)}^{2}}$

चरण 2.3.3

$1$ में से $1$ घटाएं.

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

चरण 2.3.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$a = \sqrt{1 + 0}$

चरण 2.3.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$a = \sqrt{1}$

चरण 2.3.6

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$a = 1$

चरण 3

$c$ फोकस $(- 5, 1)$ और केंद्र $(5, 1)$ के बीच की दूरी है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दो बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करें.

$दूरी = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

चरण 3.2

बिंदुओं के वास्तविक मानों को दूरी सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 5$ में से $5$ घटाएं.

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.2

$- 10$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$c = \sqrt{100 + {(1 - 1)}^{2}}$

चरण 3.3.3

$1$ में से $1$ घटाएं.

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

चरण 3.3.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$c = \sqrt{100 + 0}$

चरण 3.3.5

$100$ और $0$ जोड़ें.

$c = \sqrt{100}$

चरण 3.3.6

$100$ को $10^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$c = \sqrt{10^{2}}$

चरण 3.3.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$c = 10$

चरण 4

समीकरण $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ का उपयोग करना. $a$ के लिए $1$ और $c$ के लिए $10$ को प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को ${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

चरण 4.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$1 + b^{2} = 10^{2}$

चरण 4.3

$10$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + b^{2} = 100$

चरण 4.4

$b$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$b^{2} = 100 - 1$

चरण 4.4.2

$100$ में से $1$ घटाएं.

$b^{2} = 99$

चरण 4.5

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$b = \pm \sqrt{99}$

चरण 4.6

$\pm \sqrt{99}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$99$ को $3^{2} \cdot 11$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1.1

$99$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

चरण 4.6.1.2

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

चरण 4.6.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

चरण 4.7

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$b = 3 \sqrt{11}$

चरण 4.7.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$b = - 3 \sqrt{11}$

चरण 4.7.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

चरण 5

$b$ एक दूरी है, जिसका अर्थ है कि यह एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए.

$b = 3 \sqrt{11}$

चरण 6

फोकस $(- 5, 1)$ और केंद्र $(5, 1)$ के बीच की रेखा का ढलान यह निर्धारित करता है कि अतिपरवलय लंबवत है या क्षैतिज. यदि ढलान $0$ है, तो ग्राफ़ क्षैतिज है. यदि ढलान अपरिभाषित है, तो ग्राफ लंबवत है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

ढलान का मान $y$ में अंतर बटे $x$ में अंतर के बराबर होता है या राइज़ ओवर रन (ऊंचाई बटे लंबाई) के बराबर है.

$m = \frac{y में परिवर्तन}{x में परिवर्तन}$

चरण 6.2

$x$ में परिवर्तन x-निर्देशांक (जिसे रन भी कहा जाता है) में अंतर के बराबर है और $y$ में परिवर्तन y-निर्देशांक (जिसे वृद्धि भी कहा जाता है) में अंतर के बराबर है.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

चरण 6.3

ढलान को पता करने के लिए समीकरण में $x$ और $y$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$m = \frac{1 - (1)}{5 - (- 5)}$

चरण 6.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$m = \frac{1 - 1}{5 - (- 5)}$

चरण 6.4.1.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

चरण 6.4.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

$- 1$ को $- 5$ से गुणा करें.

$m = \frac{0}{5 + 5}$

चरण 6.4.2.2

$5$ और $5$ जोड़ें.

$m = \frac{0}{10}$

चरण 6.4.3

$0$ को $10$ से विभाजित करें.

$m = 0$

चरण 6.5

एक क्षैतिज अतिपरवलय के लिए सामान्य समीकरण $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ है.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 7

अतिपरवलय समीकरण $\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ प्राप्त करने के लिए $h = 5$ , $k = 1$ , $a = 1$ और $b = 3 \sqrt{11}$ को $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ में प्रतिस्थापित करें.

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

चरण 8

अतिपरवलय का अंतिम समीकरण ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

चरण 8.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

चरण 8.3

${(x - 5)}^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

चरण 8.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

चरण 8.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

उत्पाद नियम को $3 \sqrt{11}$ पर लागू करें.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

चरण 8.5.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

चरण 8.5.3

${\sqrt{11}}^{2}$ को $11$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.3.1

$\sqrt{11}$ को $11^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

चरण 8.5.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

चरण 8.5.3.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

चरण 8.5.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

चरण 8.5.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

चरण 8.5.3.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

चरण 8.6

$9$ को $11$ से गुणा करें.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{99} = 1$

चरण 9

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