उदाहरण

S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a + 3 b - 6 c \\ 2 a + b + c \\ a + 5 b + c \end{array}]

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a + 3 b - 6 c \\ 2 a + b + c \\ a + 5 b + c \end{array}]$

चरण 1

परिवर्तन एक मानचित्र को

ℝ^{3}

$ℝ^{3}$ से

ℝ^{3}

$ℝ^{3}$ तक परिभाषित करता है. यह साबित करने के लिए कि परिवर्तन रैखिक है, परिवर्तन को अदिश गुणन, जोड़ और शून्य सदिश को संरक्षित करना चाहिए.

ℝ^{3} \to ℝ^{3}

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

चरण 2

पहले साबित करें कि परिवर्तन इस संपत्ति को संरक्षित करता है.

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

चरण 3

अतिरिक्त गुण

S

$S$ के लिए संरक्षित है, इसका परीक्षण करने के लिए दो मैट्रिक्स सेट करें.

S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

चरण 4

दो आव्यूहों को जोड़े.

S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

चरण 5

सदिश में परिवर्तन लागू करें.

S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3}) \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3}) \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

चरण 6

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3})

$x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3})$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

चरण 6.2

2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}

$2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

चरण 6.3

x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}

$x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]$

S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]

चरण 7

चरों को समूहित करके परिणाम को दो आव्यूहों में विभाजित करें.

S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]$

चरण 8

परिवर्तन का संयोजन गुणधर्म सत्य है.

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

चरण 9

परिवर्तन के लिए रैखिक होने के लिए, इसे अदिश गुणन बनाएं रखना चाहिए.

S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

चरण 10

प्रत्येक अवयव के

p

$p$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मैट्रिक्स में प्रत्येक अवयव से

p

$p$ को गुणा करें.

S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

चरण 10.2

सदिश में परिवर्तन लागू करें.

S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) + 3 (p b) - 6 (p c) \\ 2 (p a + p b + p c) \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) + 3 (p b) - 6 (p c) \\ 2 (p a + p b + p c) \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

चरण 10.3

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

(p a) + 3 (p b) - 6 (p c)

$(p a) + 3 (p b) - 6 (p c)$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 (p a + p b + p c) \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 (p a + p b + p c) \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

चरण 10.3.2

2 (p a + p b + p c)

$2 (p a + p b + p c)$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

चरण 10.3.3

(p a) + 5 (p b) + p c

$(p a) + 5 (p b) + p c$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

चरण 10.4

आव्यूह के प्रत्येक अवयव का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

a p + 3 b p - 6 c p

$a p + 3 b p - 6 c p$ से गुणा करके अवयव

0, 0

$0, 0$ का गुणनखंड करें.

S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

चरण 10.4.2

2 a p + 2 b p + 2 c p

$2 a p + 2 b p + 2 c p$ से गुणा करके अवयव

1, 0

$1, 0$ का गुणनखंड करें.

S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

चरण 10.4.3

a p + 5 b p + c p

$a p + 5 b p + c p$ से गुणा करके अवयव

2, 0

$2, 0$ का गुणनखंड करें.

S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p (a + 5 b + c) \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p (a + 5 b + c) \end{array}]$

S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p (a + 5 b + c) \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p (a + 5 b + c) \end{array}]$

S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p (a + 5 b + c) \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p (a + 5 b + c) \end{array}]$

चरण 11

इस परिवर्तन में रैखिक परिवर्तनों की दूसरे गुणधर्म संरक्षित है.

S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

चरण 12

परिवर्तन के रैखिक होने के लिए, शून्य वेक्टर को संरक्षित किया जाना चाहिए.

S (0) = 0

$S (0) = 0$

चरण 13

सदिश में परिवर्तन लागू करें.

S (0) = [\begin{array}{c} (0) + 3 (0) - 6 \cdot 0 \\ 2 (0) + 0 + 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) + 3 (0) - 6 \cdot 0 \\ 2 (0) + 0 + 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

चरण 14

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

(0) + 3 (0) - 6 \cdot 0

$(0) + 3 (0) - 6 \cdot 0$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 (0) + 0 + 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 (0) + 0 + 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

चरण 14.2

2 (0) + 0 + 0

$2 (0) + 0 + 0$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

चरण 14.3

(0) + 5 (0) + 0

$(0) + 5 (0) + 0$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

चरण 15

शून्य सदिश परिवर्तन द्वारा संरक्षित है.

S (0) = 0

$S (0) = 0$

चरण 16

चूंकि रैखिक परिवर्तनों के सभी तीन गुण पूरे नहीं होते हैं, यह एक रैखिक परिवर्तन नहीं है.

रैखिक परिवर्तन

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