उदाहरण
(6,7,2)(6,7,2) , (-8,3,-1)(−8,3,−1) , (7,0,-1)(7,0,−1) , (0,-4,0)(0,−4,0)
चरण 1
दिए गए बिंदु C=(7,0,-1)C=(7,0,−1) और D=(0,-4,0)D=(0,−4,0), एक ऐसा तल खोजें जिसमें A=(6,7,2)A=(6,7,2) और B=(-8,3,-1)B=(−8,3,−1) हों जो रेखा CDCD के समानांतर हों.
A=(6,7,2)A=(6,7,2)
B=(-8,3,-1)B=(−8,3,−1)
C=(7,0,-1)C=(7,0,−1)
D=(0,-4,0)D=(0,−4,0)
चरण 2
सबसे पहले, बिंदु CC और DD के माध्यम से रेखा के दिशा सदिश की गणना करें. यह बिंदु CC के निर्देशांक मानों को लेकर और उन्हें बिंदु DD से घटाकर किया जा सकता है.
VCD=<xD-xC,yD-yC,zD-zC>VCD=<xD−xC,yD−yC,zD−zC>
चरण 3
xx, yy और zz मानों को बदलें और फिर लाइन CDCD के लिए दिशा सदिश VCDVCD प्राप्त करने के लिए सरल करें.
VCD=⟨-7,-4,1⟩VCD=⟨−7,−4,1⟩
चरण 4
उसी विधि का उपयोग करके बिंदुओं AA और BB के माध्यम से एक रेखा के दिशा वेक्टर की गणना करें.
VAB=<xB-xA,yB-yA,zB-zA>VAB=<xB−xA,yB−yA,zB−zA>
चरण 5
xx, yy और zz मानों को बदलें और फिर लाइन ABAB के लिए दिशा सदिश VABVAB प्राप्त करने के लिए सरल करें.
VAB=⟨-14,-4,-3⟩VAB=⟨−14,−4,−3⟩
चरण 6
हल तल में एक रेखा होगी जिसमें AA एवं BB और दिशा सदिश VABVAB के बिंदु होंगे. यह तल रेखा CDCD के समानांतर होने के लिए, समतल का अभिलंब सदिश ज्ञात कीजिए जो रेखा CDCD के दिशा सदिश के लिए भी लंबकोणीय है. मैट्रिक्स [ijkxB-xAyB-yAzB-zAxD-xCyD-yCzD-zC]⎡⎢⎣ijkxB−xAyB−yAzB−zAxD−xCyD−yCzD−zC⎤⎥⎦ के सारणिक का पता लगाकर सदिश गुणनफल VABVABxVCDVCD को ढूंढकर सामान्य सदिश की गणना करें.
[ijk-14-4-3-7-41]⎡⎢⎣ijk−14−4−3−7−41⎤⎥⎦
चरण 7
चरण 7.1
सर्वाधिक 00 तत्वों वाली पंक्ति या स्तंभ चुनें. यदि कोई 00 तत्व नहीं हैं तो कोई भी पंक्ति या कॉलम चुनें. पंक्ति 11 में प्रत्येक तत्व को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें और जोड़ें.
चरण 7.1.1
संबंधित साइन चार्ट पर विचार करें.
|+-+-+-+-+|∣∣
∣∣+−+−+−+−+∣∣
∣∣
चरण 7.1.2
यदि संकेतक साइन चार्ट पर -− की स्थिति से मेल खाते हैं तो कोफ़ैक्टर माइनर है, जिसके चिन्ह को बदल दिया गया है.
चरण 7.1.3
a11a11 के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति 11 और कॉलम 11 को हटा दिया गया है.
|-4-3-41|∣∣∣−4−3−41∣∣∣
चरण 7.1.4
तत्व a11a11 को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.
i|-4-3-41|i∣∣∣−4−3−41∣∣∣
चरण 7.1.5
a12a12 के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति 11 और कॉलम 22 को हटा दिया गया है.
|-14-3-71|∣∣∣−14−3−71∣∣∣
चरण 7.1.6
तत्व a12a12 को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.
-|-14-3-71|j−∣∣∣−14−3−71∣∣∣j
चरण 7.1.7
a13a13 के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति 11 और कॉलम 33 को हटा दिया गया है.
|-14-4-7-4|∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣
चरण 7.1.8
तत्व a13a13 को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.
|-14-4-7-4|k∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
चरण 7.1.9
पदों को एक साथ जोड़ें.
i|-4-3-41|-|-14-3-71|j+|-14-4-7-4|ki∣∣∣−4−3−41∣∣∣−∣∣∣−14−3−71∣∣∣j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
i|-4-3-41|-|-14-3-71|j+|-14-4-7-4|ki∣∣∣−4−3−41∣∣∣−∣∣∣−14−3−71∣∣∣j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
चरण 7.2
|-4-3-41|∣∣∣−4−3−41∣∣∣ का मान ज्ञात करें.
चरण 7.2.1
2×22×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
i(-4⋅1-(-4⋅-3))-|-14-3-71|j+|-14-4-7-4|ki(−4⋅1−(−4⋅−3))−∣∣∣−14−3−71∣∣∣j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
चरण 7.2.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 7.2.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 7.2.2.1.1
-4−4 को 11 से गुणा करें.
i(-4-(-4⋅-3))-|-14-3-71|j+|-14-4-7-4|ki(−4−(−4⋅−3))−∣∣∣−14−3−71∣∣∣j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
चरण 7.2.2.1.2
-(-4⋅-3)−(−4⋅−3) गुणा करें.
चरण 7.2.2.1.2.1
-4−4 को -3−3 से गुणा करें.
i(-4-1⋅12)-|-14-3-71|j+|-14-4-7-4|ki(−4−1⋅12)−∣∣∣−14−3−71∣∣∣j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
चरण 7.2.2.1.2.2
-1−1 को 1212 से गुणा करें.
i(-4-12)-|-14-3-71|j+|-14-4-7-4|ki(−4−12)−∣∣∣−14−3−71∣∣∣j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
i(-4-12)-|-14-3-71|j+|-14-4-7-4|ki(−4−12)−∣∣∣−14−3−71∣∣∣j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
i(-4-12)-|-14-3-71|j+|-14-4-7-4|ki(−4−12)−∣∣∣−14−3−71∣∣∣j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
चरण 7.2.2.2
-4−4 में से 1212 घटाएं.
i⋅-16-|-14-3-71|j+|-14-4-7-4|ki⋅−16−∣∣∣−14−3−71∣∣∣j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
i⋅-16-|-14-3-71|j+|-14-4-7-4|ki⋅−16−∣∣∣−14−3−71∣∣∣j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
i⋅-16-|-14-3-71|j+|-14-4-7-4|ki⋅−16−∣∣∣−14−3−71∣∣∣j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
चरण 7.3
|-14-3-71|∣∣∣−14−3−71∣∣∣ का मान ज्ञात करें.
चरण 7.3.1
2×22×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
i⋅-16-(-14⋅1-(-7⋅-3))j+|-14-4-7-4|ki⋅−16−(−14⋅1−(−7⋅−3))j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
चरण 7.3.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 7.3.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 7.3.2.1.1
-14−14 को 11 से गुणा करें.
i⋅-16-(-14-(-7⋅-3))j+|-14-4-7-4|ki⋅−16−(−14−(−7⋅−3))j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
चरण 7.3.2.1.2
-(-7⋅-3)−(−7⋅−3) गुणा करें.
चरण 7.3.2.1.2.1
-7−7 को -3−3 से गुणा करें.
i⋅-16-(-14-1⋅21)j+|-14-4-7-4|ki⋅−16−(−14−1⋅21)j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
चरण 7.3.2.1.2.2
-1−1 को 2121 से गुणा करें.
i⋅-16-(-14-21)j+|-14-4-7-4|ki⋅−16−(−14−21)j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
i⋅-16-(-14-21)j+|-14-4-7-4|ki⋅−16−(−14−21)j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
i⋅-16-(-14-21)j+|-14-4-7-4|ki⋅−16−(−14−21)j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
चरण 7.3.2.2
-14−14 में से 2121 घटाएं.
i⋅-16--35j+|-14-4-7-4|ki⋅−16−−35j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
i⋅-16--35j+|-14-4-7-4|ki⋅−16−−35j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
i⋅-16--35j+|-14-4-7-4|ki⋅−16−−35j+∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣k
चरण 7.4
|-14-4-7-4|∣∣∣−14−4−7−4∣∣∣ का मान ज्ञात करें.
चरण 7.4.1
2×22×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
i⋅-16--35j+(-14⋅-4-(-7⋅-4))ki⋅−16−−35j+(−14⋅−4−(−7⋅−4))k
चरण 7.4.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 7.4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 7.4.2.1.1
-14−14 को -4−4 से गुणा करें.
i⋅-16--35j+(56-(-7⋅-4))ki⋅−16−−35j+(56−(−7⋅−4))k
चरण 7.4.2.1.2
-(-7⋅-4)−(−7⋅−4) गुणा करें.
चरण 7.4.2.1.2.1
-7−7 को -4−4 से गुणा करें.
i⋅-16--35j+(56-1⋅28)ki⋅−16−−35j+(56−1⋅28)k
चरण 7.4.2.1.2.2
-1−1 को 2828 से गुणा करें.
i⋅-16--35j+(56-28)ki⋅−16−−35j+(56−28)k
i⋅-16--35j+(56-28)ki⋅−16−−35j+(56−28)k
i⋅-16--35j+(56-28)ki⋅−16−−35j+(56−28)k
चरण 7.4.2.2
5656 में से 2828 घटाएं.
i⋅-16--35j+28ki⋅−16−−35j+28k
i⋅-16--35j+28ki⋅−16−−35j+28k
i⋅-16--35j+28ki⋅−16−−35j+28k
चरण 7.5
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 7.5.1
-16−16 को ii के बाईं ओर ले जाएं.
-16⋅i--35j+28k−16⋅i−−35j+28k
चरण 7.5.2
-1−1 को -35−35 से गुणा करें.
-16i+35j+28k−16i+35j+28k
-16i+35j+28k−16i+35j+28k
-16i+35j+28k−16i+35j+28k
चरण 8
चरण 8.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 8.1.1
-16−16 को 66 से गुणा करें.
-96+(35)⋅7+(28)⋅2−96+(35)⋅7+(28)⋅2
चरण 8.1.2
3535 को 77 से गुणा करें.
-96+245+(28)⋅2−96+245+(28)⋅2
चरण 8.1.3
2828 को 22 से गुणा करें.
-96+245+56−96+245+56
-96+245+56−96+245+56
चरण 8.2
संख्याओं को जोड़कर सरल करें.
चरण 8.2.1
-96−96 और 245245 जोड़ें.
149+56149+56
चरण 8.2.2
149149 और 5656 जोड़ें.
205205
205205
205205
चरण 9
(-16)x+(35)y+(28)z=205(−16)x+(35)y+(28)z=205 समतल का समीकरण ज्ञात करने के लिए अचर जोड़ें.
(-16)x+(35)y+(28)z=205(−16)x+(35)y+(28)z=205
चरण 10
2828 को zz से गुणा करें.
-16x+35y+28z=205−16x+35y+28z=205