लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$(2, 0, 1)$ , $(- 2, 1, 1)$

चरण 1

दो सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए सदिश गुणनफल सूत्र का उपयोग करें.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

चरण 2

क्रॉस गुणन पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दो वेक्टर $a⃗$ और $b⃗$ के क्रॉस गुणन को $ℝ^{3}$ से मानक इकाई वेक्टर और दिए गए वेक्टर के तत्वों के साथ एक निर्धारक के रूप में लिखा जा सकता है.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

चरण 2.2

दिए गए मानों के साथ निर्धारक सेट करें.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array} |$

चरण 2.3

सर्वाधिक $0$ तत्वों वाली पंक्ति या स्तंभ चुनें. यदि कोई $0$ तत्व नहीं हैं तो कोई भी पंक्ति या कॉलम चुनें. पंक्ति $1$ में प्रत्येक तत्व को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें और जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

संबंधित साइन चार्ट पर विचार करें.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 2.3.2

यदि संकेतक साइन चार्ट पर $-$ की स्थिति से मेल खाते हैं तो कोफ़ैक्टर माइनर है, जिसके चिन्ह को बदल दिया गया है.

चरण 2.3.3

$a_{11}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $1$ और कॉलम $1$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 2.3.4

तत्व $a_{11}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î$

चरण 2.3.5

$a_{12}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $1$ और कॉलम $2$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

चरण 2.3.6

तत्व $a_{12}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ$

चरण 2.3.7

$a_{13}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $1$ और कॉलम $3$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

चरण 2.3.8

तत्व $a_{13}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

चरण 2.3.9

पदों को एक साथ जोड़ें.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

चरण 2.4

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$a⃗ \times b⃗ = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

चरण 2.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1.1

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

चरण 2.4.2.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

चरण 2.4.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$a⃗ \times b⃗ = - î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

चरण 2.5

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

चरण 2.5.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

चरण 2.5.2.1.2

$- (- 2 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1.2.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - - 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

चरण 2.5.2.1.2.2

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 + 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

चरण 2.5.2.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

चरण 2.6

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

चरण 2.6.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

चरण 2.6.2.1.2

$- (- 2 \cdot 0)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1.2.1

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - 0) k̂$

चरण 2.6.2.1.2.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 + 0) k̂$

चरण 2.6.2.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + 2 k̂$

चरण 2.7

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = - î - 4 ĵ + 2 k̂$

चरण 2.8

उत्तर दोबारा लिखें.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1, - 4, 2)$

चरण 3

सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात कीजिए.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

चरण 3.2.2

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 2^{2}}$

चरण 3.2.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 4}$

चरण 3.2.4

$1$ और $16$ जोड़ें.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{17 + 4}$

चरण 3.2.5

$17$ और $4$ जोड़ें.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{21}$

चरण 4

$a⃗$ का परिमाण पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 1^{2}}$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2} + 1^{2}}$

चरण 4.2.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1^{2}}$

चरण 4.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1}$

चरण 4.2.4

$4$ और $0$ जोड़ें.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

चरण 4.2.5

$4$ और $1$ जोड़ें.

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

चरण 5

$b⃗$ का परिमाण पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2} + 1^{2}}$

चरण 5.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1^{2}}$

चरण 5.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1}$

चरण 5.2.4

$4$ और $1$ जोड़ें.

$| b⃗ | = \sqrt{5 + 1}$

चरण 5.2.5

$5$ और $1$ जोड़ें.

$| b⃗ | = \sqrt{6}$

चरण 6

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{5} \sqrt{6}})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\sqrt{21}$ और $\sqrt{6}$ को एक रेडिकल में मिलाएं.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{21}{6}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.2

$21$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$21$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 (7)}{6}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$\sqrt{\frac{7}{2}}$ को $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3.2

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.1

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3.3.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3.3.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{1}}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3.3.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.4.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.3.4.2

$7$ को $2$ से गुणा करें.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{5}})$

चरण 7.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}})$

चरण 7.5

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ को $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ से गुणा करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

चरण 7.6

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ को $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ से गुणा करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

चरण 7.6.2

$\sqrt{5}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

चरण 7.6.3

$\sqrt{5}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

चरण 7.6.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

चरण 7.6.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

चरण 7.6.6

${\sqrt{5}}^{2}$ को $5$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.6.1

$\sqrt{5}$ को $5^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

चरण 7.6.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

चरण 7.6.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

चरण 7.6.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

चरण 7.6.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

चरण 7.6.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5})$

चरण 7.7

$\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1

$\frac{\sqrt{14}}{2}$ को $\frac{\sqrt{5}}{5}$ से गुणा करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14} \sqrt{5}}{2 \cdot 5})$

चरण 7.7.2

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14 \cdot 5}}{2 \cdot 5})$

चरण 7.7.3

$14$ को $5$ से गुणा करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{2 \cdot 5})$

चरण 7.7.4

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$

चरण 7.8

$\arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$ का मान ज्ञात करें.

$θ = 56.78908923$

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