लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$(1, - 1, 2)$ , $(0, 3, 1)$

चरण 1

दो सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए सदिश गुणनफल सूत्र का उपयोग करें.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

चरण 2

क्रॉस गुणन पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दो वेक्टर $a⃗$ और $b⃗$ के क्रॉस गुणन को $ℝ^{3}$ से मानक इकाई वेक्टर और दिए गए वेक्टर के तत्वों के साथ एक निर्धारक के रूप में लिखा जा सकता है.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

चरण 2.2

दिए गए मानों के साथ निर्धारक सेट करें.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} |$

चरण 2.3

सर्वाधिक $0$ तत्वों वाली पंक्ति या स्तंभ चुनें. यदि कोई $0$ तत्व नहीं हैं तो कोई भी पंक्ति या कॉलम चुनें. पंक्ति $1$ में प्रत्येक तत्व को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें और जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

संबंधित साइन चार्ट पर विचार करें.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 2.3.2

यदि संकेतक साइन चार्ट पर $-$ की स्थिति से मेल खाते हैं तो कोफ़ैक्टर माइनर है, जिसके चिन्ह को बदल दिया गया है.

चरण 2.3.3

$a_{11}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $1$ और कॉलम $1$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

चरण 2.3.4

तत्व $a_{11}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î$

चरण 2.3.5

$a_{12}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $1$ और कॉलम $2$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$

चरण 2.3.6

तत्व $a_{12}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$- | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ$

चरण 2.3.7

$a_{13}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $1$ और कॉलम $3$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$

चरण 2.3.8

तत्व $a_{13}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

चरण 2.3.9

पदों को एक साथ जोड़ें.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

चरण 2.4

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

चरण 2.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

चरण 2.4.2.1.2

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

चरण 2.4.2.2

$- 1$ में से $6$ घटाएं.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

चरण 2.5

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

चरण 2.5.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

चरण 2.5.2.1.2

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

चरण 2.5.2.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

चरण 2.6

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂$

चरण 2.6.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂$

चरण 2.6.2.1.2

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

चरण 2.6.2.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

चरण 2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂$

चरण 2.8

उत्तर दोबारा लिखें.

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

चरण 3

सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात कीजिए.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- 7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

चरण 3.2.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}$

चरण 3.2.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}$

चरण 3.2.4

$49$ और $1$ जोड़ें.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}$

चरण 3.2.5

$50$ और $9$ जोड़ें.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

चरण 4

$a⃗$ का परिमाण पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

चरण 4.2.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}$

चरण 4.2.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}$

चरण 4.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}$

चरण 4.2.5

$2$ और $4$ जोड़ें.

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

चरण 5

$b⃗$ का परिमाण पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}$

चरण 5.2.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}$

चरण 5.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}$

चरण 5.2.4

$0$ और $9$ जोड़ें.

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

चरण 5.2.5

$9$ और $1$ जोड़ें.

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

चरण 6

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})$

चरण 7.1.2

$6$ को $10$ से गुणा करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

चरण 7.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$60$ को $2^{2} \cdot 15$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$60$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})$

चरण 7.2.1.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

चरण 7.2.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

चरण 7.3

$\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ को $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ से गुणा करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

चरण 7.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ को $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ से गुणा करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

चरण 7.4.2

$\sqrt{15}$ ले जाएं.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

चरण 7.4.3

$\sqrt{15}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})})$

चरण 7.4.4

$\sqrt{15}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})})$

चरण 7.4.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

चरण 7.4.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

चरण 7.4.7

${\sqrt{15}}^{2}$ को $15$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.7.1

$\sqrt{15}$ को $15^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

चरण 7.4.7.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

चरण 7.4.7.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

चरण 7.4.7.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.7.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

चरण 7.4.7.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{1}})$

चरण 7.4.7.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

चरण 7.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59 \cdot 15}}{2 \cdot 15})$

चरण 7.5.2

$59$ को $15$ से गुणा करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{2 \cdot 15})$

चरण 7.6

$2$ को $15$ से गुणा करें.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$

चरण 7.7

$\arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$ का मान ज्ञात करें.

$θ = 82.5824442$

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