लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$(1, 1, 1)$ ,

$(0, 1, 1)$ ,

$(0, 0, 1)$

चरण 1

प्रत्येक सदिश के लिए एक नाम निर्धारित करें.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

${u⃗}_{3} = (0, 0, 1)$

चरण 2

दिए गए सदिश के सेट में पहला लांबिक सदिश पहला सदिश है.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

चरण 3

अन्य लांबिक सदिश ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

चरण 4

लांबिक सदिश

${v⃗}_{2}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

${v⃗}_{2}$ ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें.

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

चरण 4.2

$(0, 1, 1)$ को

${u⃗}_{2}$ से प्रतिस्थापित करें.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

चरण 4.3

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

डॉट गुणन पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

दो सदिशों का अदिश गुणनफल उनके घटकों के गुणन का योग है.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

चरण 4.3.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.2.1.1

$0$ को

$1$ से गुणा करें.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

चरण 4.3.1.2.1.2

$1$ को

$1$ से गुणा करें.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

चरण 4.3.1.2.1.3

$1$ को

$1$ से गुणा करें.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

चरण 4.3.1.2.2

$0$ और

$1$ जोड़ें.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

चरण 4.3.1.2.3

$1$ और

$1$ जोड़ें.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

चरण 4.3.2

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ का प्रसामान्य ज्ञात कीजिए.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

चरण 4.3.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

चरण 4.3.2.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

चरण 4.3.2.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

चरण 4.3.2.2.4

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

चरण 4.3.2.2.5

$2$ और

$1$ जोड़ें.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

चरण 4.3.3

प्रक्षेपण सूत्र का उपयोग करके

${u⃗}_{2}$ का

${v⃗}_{1}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

चरण 4.3.4

$2$ को

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ से प्रतिस्थापित करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

चरण 4.3.5

$\sqrt{3}$ को

$| | {v⃗}_{1} | |$ से प्रतिस्थापित करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

चरण 4.3.6

$(1, 1, 1)$ को

${v⃗}_{1}$ से प्रतिस्थापित करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

चरण 4.3.7

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

${\sqrt{3}}^{2}$ को

$3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1.1

$\sqrt{3}$ को

$3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

चरण 4.3.7.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

चरण 4.3.7.1.3

$\frac{1}{2}$ और

$2$ को मिलाएं.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

चरण 4.3.7.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

चरण 4.3.7.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

चरण 4.3.7.1.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

चरण 4.3.7.2

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से

$\frac{2}{3}$ को गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

चरण 4.3.7.3

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.3.1

$\frac{2}{3}$ को

$1$ से गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

चरण 4.3.7.3.2

$\frac{2}{3}$ को

$1$ से गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

चरण 4.3.7.3.3

$\frac{2}{3}$ को

$1$ से गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

चरण 4.4

प्रक्षेपण को प्रतिस्थापित करें.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

चरण 4.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

वेक्टर के प्रत्येक घटक को जोड़ें.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

चरण 4.5.2

$0$ में से

$\frac{2}{3}$ घटाएं.

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

चरण 4.5.3

एक सामान्य भाजक के साथ

$1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

चरण 4.5.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

चरण 4.5.5

$3$ में से

$2$ घटाएं.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

चरण 4.5.6

एक सामान्य भाजक के साथ

$1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

चरण 4.5.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

चरण 4.5.8

$3$ में से

$2$ घटाएं.

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5

लांबिक सदिश

${v⃗}_{3}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

${v⃗}_{3}$ ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें.

${v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

चरण 5.2

$(0, 0, 1)$ को

${u⃗}_{3}$ से प्रतिस्थापित करें.

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

चरण 5.3

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3})$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

डॉट गुणन पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

दो सदिशों का अदिश गुणनफल उनके घटकों के गुणन का योग है.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

चरण 5.3.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.1.1

$0$ को

$1$ से गुणा करें.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

चरण 5.3.1.2.1.2

$0$ को

$1$ से गुणा करें.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1 \cdot 1$

चरण 5.3.1.2.1.3

$1$ को

$1$ से गुणा करें.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1$

चरण 5.3.1.2.2

$0$ और

$0$ जोड़ें.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1$

चरण 5.3.1.2.3

$0$ और

$1$ जोड़ें.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 1$

चरण 5.3.2

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ का प्रसामान्य ज्ञात कीजिए.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

चरण 5.3.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

चरण 5.3.2.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

चरण 5.3.2.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

चरण 5.3.2.2.4

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

चरण 5.3.2.2.5

$2$ और

$1$ जोड़ें.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

चरण 5.3.3

प्रक्षेपण सूत्र का उपयोग करके

${u⃗}_{3}$ का

${v⃗}_{1}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

चरण 5.3.4

$1$ को

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}$ से प्रतिस्थापित करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

चरण 5.3.5

$\sqrt{3}$ को

$| | {v⃗}_{1} | |$ से प्रतिस्थापित करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

चरण 5.3.6

$(1, 1, 1)$ को

${v⃗}_{1}$ से प्रतिस्थापित करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

चरण 5.3.7

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.7.1

${\sqrt{3}}^{2}$ को

$3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.7.1.1

$\sqrt{3}$ को

$3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

चरण 5.3.7.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

चरण 5.3.7.1.3

$\frac{1}{2}$ और

$2$ को मिलाएं.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

चरण 5.3.7.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.7.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

चरण 5.3.7.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

चरण 5.3.7.1.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \times (1, 1, 1)$

चरण 5.3.7.2

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से

$\frac{1}{3}$ को गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

चरण 5.3.7.3

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.7.3.1

$\frac{1}{3}$ को

$1$ से गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

चरण 5.3.7.3.2

$\frac{1}{3}$ को

$1$ से गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1)$

चरण 5.3.7.3.3

$\frac{1}{3}$ को

$1$ से गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

डॉट गुणन पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

दो सदिशों का अदिश गुणनफल उनके घटकों के गुणन का योग है.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (- \frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

चरण 5.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.2.1.1

$0 (- \frac{2}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.2.1.1.1

$- 1$ को

$0$ से गुणा करें.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (\frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

चरण 5.4.1.2.1.1.2

$0$ को

$\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

चरण 5.4.1.2.1.2

$0$ को

$\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + 1 (\frac{1}{3})$

चरण 5.4.1.2.1.3

$\frac{1}{3}$ को

$1$ से गुणा करें.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + \frac{1}{3}$

चरण 5.4.1.2.2

$0$ और

$0$ जोड़ें.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + \frac{1}{3}$

चरण 5.4.1.2.3

$0$ और

$\frac{1}{3}$ जोड़ें.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = \frac{1}{3}$

चरण 5.4.2

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ का प्रसामान्य ज्ञात कीजिए.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 5.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1.1

उत्पाद नियम को

$- \frac{2}{3}$ पर लागू करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 5.4.2.2.1.2

उत्पाद नियम को

$\frac{2}{3}$ पर लागू करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 5.4.2.2.2

$- 1$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 5.4.2.2.3

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ को

$1$ से गुणा करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 5.4.2.2.4

$2$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 5.4.2.2.5

$3$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 5.4.2.2.6

उत्पाद नियम को

$\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 5.4.2.2.7

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 5.4.2.2.8

$3$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 5.4.2.2.9

उत्पाद नियम को

$\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

चरण 5.4.2.2.10

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

चरण 5.4.2.2.11

$3$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

चरण 5.4.2.2.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

चरण 5.4.2.2.13

$4$ और

$1$ जोड़ें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

चरण 5.4.2.2.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

चरण 5.4.2.2.15

$5$ और

$1$ जोड़ें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{6}{9}}$

चरण 5.4.2.2.16

$6$ और

$9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.16.1

$6$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

चरण 5.4.2.2.16.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.16.2.1

$9$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

चरण 5.4.2.2.16.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

चरण 5.4.2.2.16.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2}{3}}$

चरण 5.4.2.2.17

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ को

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

चरण 5.4.2.2.18

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ को

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 5.4.2.2.19

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.19.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ को

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 5.4.2.2.19.2

$\sqrt{3}$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 5.4.2.2.19.3

$\sqrt{3}$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 5.4.2.2.19.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 5.4.2.2.19.5

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 5.4.2.2.19.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को

$3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.19.6.1

$\sqrt{3}$ को

$3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 5.4.2.2.19.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 5.4.2.2.19.6.3

$\frac{1}{2}$ और

$2$ को मिलाएं.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 5.4.2.2.19.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.19.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 5.4.2.2.19.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 5.4.2.2.19.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

चरण 5.4.2.2.20

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.20.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

चरण 5.4.2.2.20.2

$2$ को

$3$ से गुणा करें.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{6}}{3}$

चरण 5.4.3

प्रक्षेपण सूत्र का उपयोग करके

${u⃗}_{3}$ का

${v⃗}_{2}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

चरण 5.4.4

$\frac{1}{3}$ को

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}$ से प्रतिस्थापित करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

चरण 5.4.5

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ को

$| | {v⃗}_{2} | |$ से प्रतिस्थापित करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

चरण 5.4.6

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ को

${v⃗}_{2}$ से प्रतिस्थापित करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.7.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.7.1.1

उत्पाद नियम को

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ पर लागू करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.1.2

${\sqrt{6}}^{2}$ को

$6$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.7.1.2.1

$\sqrt{6}$ को

$6^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.1.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.1.2.3

$\frac{1}{2}$ और

$2$ को मिलाएं.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.1.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.7.1.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.1.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{1}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.1.2.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.1.3

$3$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.1.4

$6$ और

$9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.7.1.4.1

$6$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 (2)}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.7.1.4.2.1

$9$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.7.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.4

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से

$\frac{1}{2}$ को गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} (- \frac{2}{3}), \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.5

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.7.5.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.7.5.1.1

$- \frac{2}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.5.1.2

$- 2$ में से

$2$ का गुणनखंड करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.5.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.5.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.5.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.7.5.3.1

$\frac{1}{2}$ को

$\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.5.3.2

$2$ को

$3$ से गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

चरण 5.4.7.5.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.7.5.4.1

$\frac{1}{2}$ को

$\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2 \cdot 3})$

चरण 5.4.7.5.4.2

$2$ को

$3$ से गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

चरण 5.5

प्रक्षेपणों को प्रतिस्थापित करें.

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

चरण 5.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

वेक्टर के प्रत्येक घटक को जोड़ें.

$(0 - (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}), 1 - (\frac{1}{3})) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

चरण 5.6.2

वेक्टर के प्रत्येक घटक को जोड़ें.

$(0 - (\frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.3

$- (- \frac{1}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1

$- 1$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$(0 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.3.2

$\frac{1}{3}$ को

$1$ से गुणा करें.

$(0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.4.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(\frac{- 1 + 1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.4.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.4.2.1

$- 1$ और

$1$ जोड़ें.

$(\frac{0}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.4.2.2

$0$ को

$3$ से विभाजित करें.

$(0, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.5

$- 1$ को

$\frac{1}{6}$ से गुणा करें.

$(0, 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.6

$0$ में से

$\frac{1}{3}$ घटाएं.

$(0, - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.7

$- \frac{1}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए,

$\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$(0, - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.8

प्रत्येक व्यंजक को

$6$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को

$1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.8.1

$\frac{1}{3}$ को

$\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$(0, - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.8.2

$3$ को

$2$ से गुणा करें.

$(0, - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.9.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(0, \frac{- 2 - 1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.9.2

$- 2$ में से

$1$ घटाएं.

$(0, \frac{- 3}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.10

$- 3$ और

$6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.10.1

$- 3$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$(0, \frac{3 (- 1)}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.10.2.1

$6$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(0, \frac{- 1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$(0, - \frac{1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.12

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.12.1

$1$ को भाजक

$1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.12.2

$\frac{1}{1}$ को

$\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.12.3

$\frac{1}{1}$ को

$\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.12.4

$\frac{1}{3}$ को

$\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.12.5

$\frac{1}{3}$ को

$\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.12.6

$3 \cdot 2$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.12.7

$2$ को

$3$ से गुणा करें.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{1}{6}))$

चरण 5.6.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6 - 2 - 1}{6})$

चरण 5.6.14

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.14.1

$6$ में से

$2$ घटाएं.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{4 - 1}{6})$

चरण 5.6.14.2

$4$ में से

$1$ घटाएं.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{6})$

चरण 5.6.15

$3$ और

$6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.15.1

$3$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 (1)}{6})$

चरण 5.6.15.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.15.2.1

$6$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

चरण 5.6.15.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

चरण 5.6.15.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

चरण 6

प्रत्येक लांबिक सदिश को उसके प्रसामान्य से विभाजित करके ऑर्थोनॉर्मल आधार ज्ञात करें.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}, \frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}}$

चरण 7

मात्रक सदिश

$\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ ज्ञात करें जहां

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सदिश

$v⃗$ के समान दिशा में एक मात्रक सदिश ज्ञात करने के लिए,

$v⃗$ के प्रसामान्य से विभाजित करें.

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

चरण 7.2

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

चरण 7.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

चरण 7.3.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

चरण 7.3.4

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$\sqrt{2 + 1}$

चरण 7.3.5

$2$ और

$1$ जोड़ें.

$\sqrt{3}$

चरण 7.4

सदिश को उसके प्रसामान्य से विभाजित करें.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

चरण 7.5

सदिश के प्रत्येक अंश को

$\sqrt{3}$ से विभाजित करें.

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

चरण 8

मात्रक सदिश

$\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ ज्ञात करें जहां

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सदिश

$v⃗$ के समान दिशा में एक मात्रक सदिश ज्ञात करने के लिए,

$v⃗$ के प्रसामान्य से विभाजित करें.

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

चरण 8.2

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

उत्पाद नियम को

$- \frac{2}{3}$ पर लागू करें.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 8.3.1.2

उत्पाद नियम को

$\frac{2}{3}$ पर लागू करें.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 8.3.2

$- 1$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 8.3.3

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ को

$1$ से गुणा करें.

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 8.3.4

$2$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 8.3.5

$3$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 8.3.6

उत्पाद नियम को

$\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 8.3.7

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 8.3.8

$3$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 8.3.9

उत्पाद नियम को

$\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

चरण 8.3.10

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

चरण 8.3.11

$3$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

चरण 8.3.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

चरण 8.3.13

$4$ और

$1$ जोड़ें.

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

चरण 8.3.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

चरण 8.3.15

$5$ और

$1$ जोड़ें.

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

चरण 8.3.16

$6$ और

$9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.16.1

$6$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

चरण 8.3.16.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.16.2.1

$9$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

चरण 8.3.16.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

चरण 8.3.16.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

चरण 8.3.17

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ को

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

चरण 8.4

सदिश को उसके प्रसामान्य से विभाजित करें.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

चरण 8.5

सदिश के प्रत्येक अंश को

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ से विभाजित करें.

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

चरण 8.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

चरण 8.6.2

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ को

$\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

चरण 8.6.3

$2$ को

$\sqrt{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

चरण 8.6.4

$3$ को

$\sqrt{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

चरण 8.6.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

चरण 8.6.6

$\frac{1}{3}$ को

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

चरण 8.6.7

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

चरण 8.6.8

$\frac{1}{3}$ को

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

चरण 9

मात्रक सदिश

$\frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}$ ज्ञात करें जहां

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सदिश

$v⃗$ के समान दिशा में एक मात्रक सदिश ज्ञात करने के लिए,

$v⃗$ के प्रसामान्य से विभाजित करें.

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

चरण 9.2

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$\sqrt{0^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से

$0$ प्राप्त होता है.

$\sqrt{0 + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

चरण 9.3.2

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

उत्पाद नियम को

$- \frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

चरण 9.3.2.2

उत्पाद नियम को

$\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

चरण 9.3.3

$- 1$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

चरण 9.3.4

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ को

$1$ से गुणा करें.

$\sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

चरण 9.3.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

चरण 9.3.6

$2$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

चरण 9.3.7

उत्पाद नियम को

$\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

चरण 9.3.8

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

चरण 9.3.9

$2$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

चरण 9.3.10

$0$ और

$\frac{1}{4}$ जोड़ें.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

चरण 9.3.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

चरण 9.3.12

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$\sqrt{\frac{2}{4}}$

चरण 9.3.13

$2$ और

$4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.13.1

$2$ में से

$2$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

चरण 9.3.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.13.2.1

$4$ में से

$2$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

चरण 9.3.13.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

चरण 9.3.13.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

चरण 9.3.14

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ को

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

चरण 9.3.15

$1$ का कोई भी मूल

$1$ होता है.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

चरण 9.4

सदिश को उसके प्रसामान्य से विभाजित करें.

$\frac{(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

चरण 9.5

सदिश के प्रत्येक अंश को

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ से विभाजित करें.

$(\frac{0}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

चरण 9.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.6.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$(0 \sqrt{2}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

चरण 9.6.2

$0$ को

$\sqrt{2}$ से गुणा करें.

$(0, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

चरण 9.6.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$(0, - \frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

चरण 9.6.4

$\sqrt{2}$ और

$\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

चरण 9.6.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2})$

चरण 9.6.6

$\frac{1}{2}$ और

$\sqrt{2}$ को मिलाएं.

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 10

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}), (0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}$

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