लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$

चरण 1

आइगेन सदिश ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अभिलाक्षणिक मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

अभिलक्षणिक समीकरण $p (λ)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.

$p (λ) = सारणिक (A - λ I_{3})$

चरण 1.1.2

सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स $3$ $3 \times 3$ वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 1.1.3

ज्ञात मानों को $p (λ) = सारणिक (A - λ I_{3})$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ को $A$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

चरण 1.1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ को $I_{3}$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $- λ$ को गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.2.2.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2.2.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.2.3.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2.3.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.2.4.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2.4.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.2.6.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2.6.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.2.7.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2.7.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.2.8.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2.8.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.1.4.1.2.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

चरण 1.1.4.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

चरण 1.1.4.3

प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.3.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

चरण 1.1.4.3.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

चरण 1.1.4.3.3

$2$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

चरण 1.1.4.3.4

$0$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

चरण 1.1.4.3.5

$4$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

चरण 1.1.4.3.6

$- 1$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - λ \end{array}]$

चरण 1.1.5

सारणिक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

सर्वाधिक $0$ तत्वों वाली पंक्ति या स्तंभ चुनें. यदि कोई $0$ तत्व नहीं हैं तो कोई भी पंक्ति या कॉलम चुनें. कॉलम $3$ में प्रत्येक तत्व को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें और जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1.1

संबंधित साइन चार्ट पर विचार करें.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 1.1.5.1.2

यदि संकेतक साइन चार्ट पर $-$ की स्थिति से मेल खाते हैं तो कोफ़ैक्टर माइनर है, जिसके चिन्ह को बदल दिया गया है.

चरण 1.1.5.1.3

$a_{13}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $1$ और कॉलम $3$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

चरण 1.1.5.1.4

तत्व $a_{13}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

चरण 1.1.5.1.5

$a_{23}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $2$ और कॉलम $3$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

चरण 1.1.5.1.6

तत्व $a_{23}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

चरण 1.1.5.1.7

$a_{33}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $3$ और कॉलम $3$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

चरण 1.1.5.1.8

तत्व $a_{33}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

चरण 1.1.5.1.9

पदों को एक साथ जोड़ें.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

चरण 1.1.5.2

$0$ को $| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

चरण 1.1.5.3

$0$ को $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

चरण 1.1.5.4

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.4.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

चरण 1.1.5.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.4.2.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(5 - λ) (5 - λ)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.4.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

चरण 1.1.5.4.2.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

चरण 1.1.5.4.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

चरण 1.1.5.4.2.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.4.2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.1

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.2

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.3

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2)$

चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.5

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2)$

चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

चरण 1.1.5.4.2.1.2.2

$- 5 λ$ में से $5 λ$ घटाएं.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

चरण 1.1.5.4.2.1.3

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 4)$

चरण 1.1.5.4.2.2

$25$ में से $4$ घटाएं.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (- 10 λ + λ^{2} + 21)$

चरण 1.1.5.4.2.3

$- 10 λ$ और $λ^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

चरण 1.1.5.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.5.1

$0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.5.1.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

चरण 1.1.5.5.1.2

$0$ और $(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ जोड़ें.

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

चरण 1.1.5.5.2

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ का प्रसार करें.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 10 λ) + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

चरण 1.1.5.5.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.5.3.1

$- 10$ को $4$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

चरण 1.1.5.5.3.2

$4$ को $21$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

चरण 1.1.5.5.3.3

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.5.3.3.1

$λ^{2}$ ले जाएं.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

चरण 1.1.5.5.3.3.2

$λ^{2}$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.5.3.3.2.1

$λ$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

चरण 1.1.5.5.3.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

चरण 1.1.5.5.3.3.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

चरण 1.1.5.5.3.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 21$

चरण 1.1.5.5.3.5

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.5.3.5.1

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 21$

चरण 1.1.5.5.3.5.2

$λ$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

चरण 1.1.5.5.3.6

$- 1$ को $- 10$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

चरण 1.1.5.5.3.7

$21$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ$

चरण 1.1.5.5.4

$4 λ^{2}$ और $10 λ^{2}$ जोड़ें.

$p (λ) = 14 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 21 λ$

चरण 1.1.5.5.5

$- 40 λ$ में से $21 λ$ घटाएं.

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ + 84 - λ^{3}$

चरण 1.1.5.5.6

$84$ ले जाएं.

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ - λ^{3} + 84$

चरण 1.1.5.5.7

$- 61 λ$ ले जाएं.

$p (λ) = 14 λ^{2} - λ^{3} - 61 λ + 84$

चरण 1.1.5.5.8

$14 λ^{2}$ और $- λ^{3}$ को पुन: क्रमित करें.

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$

चरण 1.1.6

आइगेन मान $λ$ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को $0$ के बराबर सेट करें.

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84 = 0$

चरण 1.1.7

$λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

$q = \pm 1$

चरण 1.1.7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

चरण 1.1.7.1.1.3

$3$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $3$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1.1.3.1

$3$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$- 3^{3} + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

चरण 1.1.7.1.1.3.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 \cdot 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

चरण 1.1.7.1.1.3.3

$- 1$ को $27$ से गुणा करें.

$- 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

चरण 1.1.7.1.1.3.4

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 27 + 14 \cdot 9 - 61 \cdot 3 + 84$

चरण 1.1.7.1.1.3.5

$14$ को $9$ से गुणा करें.

$- 27 + 126 - 61 \cdot 3 + 84$

चरण 1.1.7.1.1.3.6

$- 27$ और $126$ जोड़ें.

$99 - 61 \cdot 3 + 84$

चरण 1.1.7.1.1.3.7

$- 61$ को $3$ से गुणा करें.

$99 - 183 + 84$

चरण 1.1.7.1.1.3.8

$99$ में से $183$ घटाएं.

$- 84 + 84$

चरण 1.1.7.1.1.3.9

$- 84$ और $84$ जोड़ें.

$0$

चरण 1.1.7.1.1.4

चूँकि $3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $λ - 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84}{λ - 3}$

चरण 1.1.7.1.1.5

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ को $λ - 3$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$61 λ$

$84$

चरण 1.1.7.1.1.5.2

भाज्य $- λ^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $λ$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$

चरण 1.1.7.1.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

चरण 1.1.7.1.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- λ^{3} + 3 λ^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

चरण 1.1.7.1.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

चरण 1.1.7.1.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

चरण 1.1.7.1.1.5.7

भाज्य $11 λ^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $λ$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

चरण 1.1.7.1.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					+	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

चरण 1.1.7.1.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $11 λ^{2} - 33 λ$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

चरण 1.1.7.1.1.5.10

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$

चरण 1.1.7.1.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

चरण 1.1.7.1.1.5.12

भाज्य $- 28 λ$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $λ$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

चरण 1.1.7.1.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							-	$28 λ$	+	$84$

चरण 1.1.7.1.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 28 λ + 84$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$

चरण 1.1.7.1.1.5.15

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$
										$0$

चरण 1.1.7.1.1.5.16

Since the remainder is $0$ , the final answer is the quotient.

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

चरण 1.1.7.1.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ लिखें.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

चरण 1.1.7.1.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ है और जिसका योग $b = 11$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1.2.1.1.1

$11 λ$ में से $11$ का गुणनखंड करें.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

चरण 1.1.7.1.2.1.1.2

$11$ को $4$ जोड़ $7$ के रूप में फिर से लिखें

$(λ - 3) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

चरण 1.1.7.1.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

चरण 1.1.7.1.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(λ - 3) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

चरण 1.1.7.1.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(λ - 3) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

चरण 1.1.7.1.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $- λ + 4$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(λ - 3) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

चरण 1.1.7.1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

चरण 1.1.7.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$λ - 3 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

चरण 1.1.7.3

$λ - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.3.1

$λ - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$λ - 3 = 0$

चरण 1.1.7.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$λ = 3$

चरण 1.1.7.4

$- λ + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.4.1

$- λ + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- λ + 4 = 0$

चरण 1.1.7.4.2

$λ$ के लिए $- λ + 4 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$- λ = - 4$

चरण 1.1.7.4.2.2

$- λ = - 4$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.4.2.2.1

$- λ = - 4$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

चरण 1.1.7.4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.4.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

चरण 1.1.7.4.2.2.2.2

$λ$ को $1$ से विभाजित करें.

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

चरण 1.1.7.4.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.4.2.2.3.1

$- 4$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$λ = 4$

चरण 1.1.7.5

$λ - 7$ को $0$ के बराबर सेट करें और $λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.5.1

$λ - 7$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$λ - 7 = 0$

चरण 1.1.7.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $7$ जोड़ें.

$λ = 7$

चरण 1.1.7.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$λ = 3, 4, 7$

चरण 1.2

ईजेनवेक्टर मैट्रिक्स के शून्य स्थान के बराबर है, सर्वसमिका मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू गुणा को घटाता है जहां $N$ रिक्त स्थान है और $I$ सर्वसमिका मैट्रिक्स है.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

चरण 1.3

अभिलक्षणिक मान $λ = 3$ का उपयोग करके अभिलक्षणिक सदिश पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

चरण 1.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $- 3$ को गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.3.2.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.2.1

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.3.2.1.2.2

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.3.2.1.2.3

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.3.2.1.2.4

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.3.2.1.2.5

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.3.2.1.2.6

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.3.2.1.2.7

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.3.2.1.2.8

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.3.2.1.2.9

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

चरण 1.3.2.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 5 - 3 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

चरण 1.3.2.3

प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.1

$5$ में से $3$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

चरण 1.3.2.3.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

चरण 1.3.2.3.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

चरण 1.3.2.3.4

$2$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

चरण 1.3.2.3.5

$5$ में से $3$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

चरण 1.3.2.3.6

$0$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

चरण 1.3.2.3.7

$4$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

चरण 1.3.2.3.8

$- 1$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 3 \end{array}]$

चरण 1.3.2.3.9

$4$ में से $3$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$

चरण 1.3.3

$λ = 3$ होने पर रिक्त स्थान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$A x = 0$ के लिए संवर्धित मैट्रिक्स के रूप में लिखें.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 1.3.3.2

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.1

$1, 1$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{1}$ के प्रत्येक तत्व को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.1.1

$1, 1$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{1}$ के प्रत्येक तत्व को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 1.3.3.2.1.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 1.3.3.2.2

$2, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.2.1

$2, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 1.3.3.2.2.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 1.3.3.2.3

$3, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.3.1

$3, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

चरण 1.3.3.2.3.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 1.3.3.2.4

$2, 2$ पर एक गैर-शून्य प्रविष्टि करने के लिए $R_{3}$ को $R_{2}$ से स्वैप करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.3.3.2.5

$2, 2$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को $- \frac{1}{5}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.5.1

$2, 2$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को $- \frac{1}{5}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 1 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.3.3.2.5.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.3.3.2.6

$1, 2$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.6.1

$1, 2$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 + \frac{1}{5} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.3.3.2.6.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.3.3.3

समीकरणों के निकाय का अंतिम समाधान घोषित करने के लिए परिणाम मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y - \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

चरण 1.3.3.4

प्रत्येक पंक्ति में मुक्त चरों के संदर्भ में हल करके एक समाधान सदिश लिखें.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

चरण 1.3.3.5

समाधान को सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखें.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

चरण 1.3.3.6

समाधान सेट के रूप में लिखें.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

चरण 1.3.3.7

समाधान सिस्टम के मुक्त चर से बनाएं गए सदिश का सेट है.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

चरण 1.4

अभिलक्षणिक मान $λ = 4$ का उपयोग करके अभिलक्षणिक सदिश पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

चरण 1.4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $- 4$ को गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.4.2.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.4.2.1.2.2

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.4.2.1.2.3

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.4.2.1.2.4

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.4.2.1.2.5

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.4.2.1.2.6

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.4.2.1.2.7

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.4.2.1.2.8

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.4.2.1.2.9

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

चरण 1.4.2.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

चरण 1.4.2.3

प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.3.1

$5$ में से $4$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

चरण 1.4.2.3.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

चरण 1.4.2.3.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

चरण 1.4.2.3.4

$2$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

चरण 1.4.2.3.5

$5$ में से $4$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

चरण 1.4.2.3.6

$0$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

चरण 1.4.2.3.7

$4$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

चरण 1.4.2.3.8

$- 1$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 4 \end{array}]$

चरण 1.4.2.3.9

$4$ में से $4$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 \end{array}]$

चरण 1.4.3

$λ = 4$ होने पर रिक्त स्थान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$A x = 0$ के लिए संवर्धित मैट्रिक्स के रूप में लिखें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.4.3.2

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1

$2, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1.1

$2, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.4.3.2.1.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.4.3.2.2

$3, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.2.1

$3, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 2 & 0 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

चरण 1.4.3.2.2.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.4.3.2.3

$2, 2$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को $- \frac{1}{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.3.1

$2, 2$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को $- \frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.4.3.2.3.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.4.3.2.4

$3, 2$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.4.1

$3, 2$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 & 0 + 9 \cdot 0 \end{array}]$

चरण 1.4.3.2.4.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.4.3.2.5

$1, 2$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.5.1

$1, 2$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.4.3.2.5.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.4.3.3

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

चरण 1.4.3.4

प्रत्येक पंक्ति में मुक्त चरों के संदर्भ में हल करके एक समाधान सदिश लिखें.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

चरण 1.4.3.5

समाधान को सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखें.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

चरण 1.4.3.6

समाधान सेट के रूप में लिखें.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

चरण 1.4.3.7

समाधान सिस्टम के मुक्त चर से बनाएं गए सदिश का सेट है.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

चरण 1.5

अभिलक्षणिक मान $λ = 7$ का उपयोग करके अभिलक्षणिक सदिश पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

चरण 1.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $- 7$ को गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.5.2.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.2.1

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.5.2.1.2.2

$- 7$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.5.2.1.2.3

$- 7$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.5.2.1.2.4

$- 7$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.5.2.1.2.5

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.5.2.1.2.6

$- 7$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.5.2.1.2.7

$- 7$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.5.2.1.2.8

$- 7$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 1.5.2.1.2.9

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

चरण 1.5.2.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 5 - 7 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

चरण 1.5.2.3

प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.3.1

$5$ में से $7$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

चरण 1.5.2.3.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

चरण 1.5.2.3.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

चरण 1.5.2.3.4

$2$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

चरण 1.5.2.3.5

$5$ में से $7$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

चरण 1.5.2.3.6

$0$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

चरण 1.5.2.3.7

$4$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

चरण 1.5.2.3.8

$- 1$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 7 \end{array}]$

चरण 1.5.2.3.9

$4$ में से $7$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 \end{array}]$

चरण 1.5.3

$λ = 7$ होने पर रिक्त स्थान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$A x = 0$ के लिए संवर्धित मैट्रिक्स के रूप में लिखें.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

चरण 1.5.3.2

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1

$1, 1$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{1}$ के प्रत्येक तत्व को $- \frac{1}{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1.1

$1, 1$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{1}$ के प्रत्येक तत्व को $- \frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

चरण 1.5.3.2.1.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

चरण 1.5.3.2.2

$2, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.2.1

$2, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

चरण 1.5.3.2.2.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

चरण 1.5.3.2.3

$3, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.3.1

$3, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot - 1 & - 3 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

चरण 1.5.3.2.3.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

चरण 1.5.3.2.4

$2, 2$ पर एक गैर-शून्य प्रविष्टि करने के लिए $R_{3}$ को $R_{2}$ से स्वैप करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.5.3.2.5

$2, 2$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.5.1

$2, 2$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.5.3.2.5.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.5.3.2.6

$1, 2$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.6.1

$1, 2$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.5.3.2.6.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1.5.3.3

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

चरण 1.5.3.4

प्रत्येक पंक्ति में मुक्त चरों के संदर्भ में हल करके एक समाधान सदिश लिखें.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

चरण 1.5.3.5

समाधान को सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखें.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

चरण 1.5.3.6

समाधान सेट के रूप में लिखें.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

चरण 1.5.3.7

समाधान सिस्टम के मुक्त चर से बनाएं गए सदिश का सेट है.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

चरण 1.6

$A$ का का आइगेनस्पेस प्रत्येक अभिलाक्षणिक मान के लिए सदिश स्पेस की सूची है.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

चरण 2

$P$ को आइगेन सदिश की मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित करें.

$P = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

चरण 3

$P$ का व्युत्क्रम पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

सारणिक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

सर्वाधिक $0$ तत्वों वाली पंक्ति या स्तंभ चुनें. यदि कोई $0$ तत्व नहीं हैं तो कोई भी पंक्ति या कॉलम चुनें. कॉलम $2$ में प्रत्येक तत्व को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें और जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

संबंधित साइन चार्ट पर विचार करें.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 3.1.1.2

चरण 3.1.1.3

$a_{12}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $1$ और कॉलम $2$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 3.1.1.4

तत्व $a_{12}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 3.1.1.5

$a_{22}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $2$ और कॉलम $2$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 3.1.1.6

तत्व $a_{22}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 3.1.1.7

$a_{32}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $3$ और कॉलम $2$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

चरण 3.1.1.8

तत्व $a_{32}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$- 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

चरण 3.1.1.9

पदों को एक साथ जोड़ें.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

चरण 3.1.2

$0$ को $| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ से गुणा करें.

$0 + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

चरण 3.1.3

$0$ को $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ से गुणा करें.

$0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

चरण 3.1.4

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.1

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 1)$

चरण 3.1.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.2.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1)$

चरण 3.1.4.2.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5})$

चरण 3.1.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$0 + 0 - 1 \frac{- 1 - 1}{5}$

चरण 3.1.4.2.3

$- 1$ में से $1$ घटाएं.

$0 + 0 - 1 (\frac{- 2}{5})$

चरण 3.1.4.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$0 + 0 - 1 (- \frac{2}{5})$

चरण 3.1.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.5.1

$- 1 (- \frac{2}{5})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.5.1.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 + 0 + 1 (\frac{2}{5})$

चरण 3.1.5.1.2

$\frac{2}{5}$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 0 + \frac{2}{5}$

चरण 3.1.5.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0 + \frac{2}{5}$

चरण 3.1.5.3

$0$ और $\frac{2}{5}$ जोड़ें.

$\frac{2}{5}$

चरण 3.2

चूँकि निर्धारक गैर-शून्य है, व्युत्क्रम अस्तित्व में है.

चरण 3.3

एक $3 \times 6$ मैट्रिक्स सेट करें जहां बायां आधा मूल मैट्रिक्स है और दायां आधा इसकी सर्वसमिका मैट्रिक्स है.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 3.4

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$1, 1$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{1}$ के प्रत्येक तत्व को $- 5$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$1, 1$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{1}$ के प्रत्येक तत्व को $- 5$ से गुणा करें.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - 5 (- \frac{1}{5}) & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 3.4.1.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 3.4.2

$2, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$2, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ करें.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 0 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 1 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 3.4.2.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 3.4.3

$3, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$3, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ करें.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 1 + 5 & 0 + 5 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

चरण 3.4.3.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 3.4.4

$2, 2$ पर एक गैर-शून्य प्रविष्टि करने के लिए $R_{3}$ को $R_{2}$ से स्वैप करें.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 3.4.5

$3, 3$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{3}$ के प्रत्येक तत्व को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

$3, 3$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{3}$ के प्रत्येक तत्व को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

चरण 3.4.5.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

चरण 3.4.6

$2, 3$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.1

$2, 3$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ करें.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 5 - 6 (\frac{1}{2}) & 0 - 6 (\frac{1}{2}) & 1 - 6 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

चरण 3.4.6.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

चरण 3.4.7

$1, 3$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1

$1, 3$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ करें.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

चरण 3.4.7.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

चरण 3.5

घटी हुई पंक्ति सोपानक रूप का दाहिना आधा भाग व्युत्क्रम है.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

चरण 4

विकर्ण मैट्रिक्स $D$ का पता लगाने के लिए समरूपता रूपांतर का उपयोग करें.

$D = P^{- 1} A P$

चरण 5

मेट्रिसेस को प्रतिस्थापित करें।

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

दो आव्यूहों को गुणा किया जा सकता है यदि और केवल यदि पहले आव्यूह में स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो. इस स्थिति में, पहला मैट्रिक्स $3 \times 3$ है और दूसरा मैट्रिक्स $3 \times 3$ है.

चरण 6.1.2

पहले मैट्रिक्स में प्रत्येक पंक्ति को दूसरे मैट्रिक्स में प्रत्येक कॉलम से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} \cdot 5 + \frac{5}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & - \frac{5}{2} \cdot 2 + \frac{5}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & - \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \\ 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 1 & 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

चरण 6.1.3

सभी व्यंजकों को गुणा करके आव्यूह के प्रत्येक अवयव को सरल करें.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

चरण 6.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

चरण 6.2.2

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 0 + \frac{15}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 1 + \frac{15}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 8 (- \frac{1}{5}) - 12 (\frac{1}{5}) + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \\ \frac{7}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 0 + \frac{7}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 1 + \frac{7}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 6.2.3

सभी व्यंजकों को गुणा करके आव्यूह के प्रत्येक अवयव को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array}]$

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