लीनियर एलजेब्रा उदाहरण
[5202504-14]⎡⎢⎣5202504−14⎤⎥⎦
चरण 1
चरण 1.1
अभिलाक्षणिक मान पता करें.
चरण 1.1.1
अभिलक्षणिक समीकरण p(λ)p(λ) ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.
p(λ)=सारणिक(A-λI3)
चरण 1.1.2
सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स 3 3×3 वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.
[100010001]
चरण 1.1.3
ज्ञात मानों को p(λ)=सारणिक(A-λI3) में प्रतिस्थापित करें.
चरण 1.1.3.1
[5202504-14] को A से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]-λI3)
चरण 1.1.3.2
[100010001] को I3 से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]-λ[100010001])
p(λ)=सारणिक([5202504-14]-λ[100010001])
चरण 1.1.4
सरल करें.
चरण 1.1.4.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.1.4.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -λ को गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 1.1.4.1.2.1
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.2
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.1.4.1.2.2.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.2.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.3
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.1.4.1.2.3.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.3.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.4
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.1.4.1.2.4.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.4.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.5
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.6
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.1.4.1.2.6.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.6.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.7
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.1.4.1.2.7.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.7.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.8
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.1.4.1.2.8.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.8.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.9
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=सारणिक([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])
चरण 1.1.4.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[5-λ2+00+02+05-λ0+04+0-1+04-λ]
चरण 1.1.4.3
प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.
चरण 1.1.4.3.1
2 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[5-λ20+02+05-λ0+04+0-1+04-λ]
चरण 1.1.4.3.2
0 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[5-λ202+05-λ0+04+0-1+04-λ]
चरण 1.1.4.3.3
2 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[5-λ2025-λ0+04+0-1+04-λ]
चरण 1.1.4.3.4
0 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[5-λ2025-λ04+0-1+04-λ]
चरण 1.1.4.3.5
4 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[5-λ2025-λ04-1+04-λ]
चरण 1.1.4.3.6
-1 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[5-λ2025-λ04-14-λ]
p(λ)=सारणिक[5-λ2025-λ04-14-λ]
p(λ)=सारणिक[5-λ2025-λ04-14-λ]
चरण 1.1.5
सारणिक पता करें.
चरण 1.1.5.1
सर्वाधिक 0 तत्वों वाली पंक्ति या स्तंभ चुनें. यदि कोई 0 तत्व नहीं हैं तो कोई भी पंक्ति या कॉलम चुनें. कॉलम 3 में प्रत्येक तत्व को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें और जोड़ें.
चरण 1.1.5.1.1
संबंधित साइन चार्ट पर विचार करें.
|+-+-+-+-+|
चरण 1.1.5.1.2
यदि संकेतक साइन चार्ट पर - की स्थिति से मेल खाते हैं तो कोफ़ैक्टर माइनर है, जिसके चिन्ह को बदल दिया गया है.
चरण 1.1.5.1.3
a13 के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति 1 और कॉलम 3 को हटा दिया गया है.
|25-λ4-1|
चरण 1.1.5.1.4
तत्व a13 को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.
0|25-λ4-1|
चरण 1.1.5.1.5
a23 के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति 2 और कॉलम 3 को हटा दिया गया है.
|5-λ24-1|
चरण 1.1.5.1.6
तत्व a23 को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.
0|5-λ24-1|
चरण 1.1.5.1.7
a33 के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति 3 और कॉलम 3 को हटा दिया गया है.
|5-λ225-λ|
चरण 1.1.5.1.8
तत्व a33 को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.
(4-λ)|5-λ225-λ|
चरण 1.1.5.1.9
पदों को एक साथ जोड़ें.
p(λ)=0|25-λ4-1|+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
p(λ)=0|25-λ4-1|+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
चरण 1.1.5.2
0 को |25-λ4-1| से गुणा करें.
p(λ)=0+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
चरण 1.1.5.3
0 को |5-λ24-1| से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(4-λ)|5-λ225-λ|
चरण 1.1.5.4
|5-λ225-λ| का मान ज्ञात करें.
चरण 1.1.5.4.1
2×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
p(λ)=0+0+(4-λ)((5-λ)(5-λ)-2⋅2)
चरण 1.1.5.4.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 1.1.5.4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.1.5.4.2.1.1
FOIL विधि का उपयोग करके (5-λ)(5-λ) का प्रसार करें.
चरण 1.1.5.4.2.1.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5(5-λ)-λ(5-λ)-2⋅2)
चरण 1.1.5.4.2.1.1.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ(5-λ)-2⋅2)
चरण 1.1.5.4.2.1.1.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
चरण 1.1.5.4.2.1.2
समान पदों को सरल और संयोजित करें.
चरण 1.1.5.4.2.1.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.1
5 को 5 से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.2
-1 को 5 से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.3
5 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-λ(-λ)-2⋅2)
चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.4
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ⋅λ-2⋅2)
चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.5
घातांक जोड़कर λ को λ से गुणा करें.
चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1
λ ले जाएं.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1(λ⋅λ)-2⋅2)
चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2
λ को λ से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ2-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ2-2⋅2)
चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.6
-1 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+1λ2-2⋅2)
चरण 1.1.5.4.2.1.2.1.7
λ2 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+λ2-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+λ2-2⋅2)
चरण 1.1.5.4.2.1.2.2
-5λ में से 5λ घटाएं.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-2⋅2)
चरण 1.1.5.4.2.1.3
-2 को 2 से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-4)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-4)
चरण 1.1.5.4.2.2
25 में से 4 घटाएं.
p(λ)=0+0+(4-λ)(-10λ+λ2+21)
चरण 1.1.5.4.2.3
-10λ और λ2 को पुन: क्रमित करें.
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
चरण 1.1.5.5
सारणिक को सरल करें.
चरण 1.1.5.5.1
0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21) में विपरीत पदों को मिलाएं.
चरण 1.1.5.5.1.1
0 और 0 जोड़ें.
p(λ)=0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
चरण 1.1.5.5.1.2
0 और (4-λ)(λ2-10λ+21) जोड़ें.
p(λ)=(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=(4-λ)(λ2-10λ+21)
चरण 1.1.5.5.2
प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके (4-λ)(λ2-10λ+21) का प्रसार करें.
p(λ)=4λ2+4(-10λ)+4⋅21-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21
चरण 1.1.5.5.3
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.1.5.5.3.1
-10 को 4 से गुणा करें.
p(λ)=4λ2-40λ+4⋅21-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21
चरण 1.1.5.5.3.2
4 को 21 से गुणा करें.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21
चरण 1.1.5.5.3.3
घातांक जोड़कर λ को λ2 से गुणा करें.
चरण 1.1.5.5.3.3.1
λ2 ले जाएं.
p(λ)=4λ2-40λ+84-(λ2λ)-λ(-10λ)-λ⋅21
चरण 1.1.5.5.3.3.2
λ2 को λ से गुणा करें.
चरण 1.1.5.5.3.3.2.1
λ को 1 के घात तक बढ़ाएं.
p(λ)=4λ2-40λ+84-(λ2λ1)-λ(-10λ)-λ⋅21
चरण 1.1.5.5.3.3.2.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम aman=am+n का उपयोग करें.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ2+1-λ(-10λ)-λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ2+1-λ(-10λ)-λ⋅21
चरण 1.1.5.5.3.3.3
2 और 1 जोड़ें.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-λ(-10λ)-λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-λ(-10λ)-λ⋅21
चरण 1.1.5.5.3.4
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ⋅λ-λ⋅21
चरण 1.1.5.5.3.5
घातांक जोड़कर λ को λ से गुणा करें.
चरण 1.1.5.5.3.5.1
λ ले जाएं.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10(λ⋅λ)-λ⋅21
चरण 1.1.5.5.3.5.2
λ को λ से गुणा करें.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ2-λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ2-λ⋅21
चरण 1.1.5.5.3.6
-1 को -10 से गुणा करें.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-λ⋅21
चरण 1.1.5.5.3.7
21 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-21λ
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-21λ
चरण 1.1.5.5.4
4λ2 और 10λ2 जोड़ें.
p(λ)=14λ2-40λ+84-λ3-21λ
चरण 1.1.5.5.5
-40λ में से 21λ घटाएं.
p(λ)=14λ2-61λ+84-λ3
चरण 1.1.5.5.6
84 ले जाएं.
p(λ)=14λ2-61λ-λ3+84
चरण 1.1.5.5.7
-61λ ले जाएं.
p(λ)=14λ2-λ3-61λ+84
चरण 1.1.5.5.8
14λ2 और -λ3 को पुन: क्रमित करें.
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
चरण 1.1.6
आइगेन मान λ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को 0 के बराबर सेट करें.
-λ3+14λ2-61λ+84=0
चरण 1.1.7
λ के लिए हल करें.
चरण 1.1.7.1
समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.
चरण 1.1.7.1.1
परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड -λ3+14λ2-61λ+84 है.
चरण 1.1.7.1.1.1
यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप pq होगा, जहां p स्थिरांक का एक गुणनखंड है और q प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.
p=±1,±84,±2,±42,±3,±28,±4,±21,±6,±14,±7,±12
q=±1
चरण 1.1.7.1.1.2
±pq का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.
±1,±84,±2,±42,±3,±28,±4,±21,±6,±14,±7,±12
चरण 1.1.7.1.1.3
3 को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक 0 के बराबर है, इसलिए 3 बहुपद का मूल है.
चरण 1.1.7.1.1.3.1
3 को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.
-33+14⋅32-61⋅3+84
चरण 1.1.7.1.1.3.2
3 को 3 के घात तक बढ़ाएं.
-1⋅27+14⋅32-61⋅3+84
चरण 1.1.7.1.1.3.3
-1 को 27 से गुणा करें.
-27+14⋅32-61⋅3+84
चरण 1.1.7.1.1.3.4
3 को 2 के घात तक बढ़ाएं.
-27+14⋅9-61⋅3+84
चरण 1.1.7.1.1.3.5
14 को 9 से गुणा करें.
-27+126-61⋅3+84
चरण 1.1.7.1.1.3.6
-27 और 126 जोड़ें.
99-61⋅3+84
चरण 1.1.7.1.1.3.7
-61 को 3 से गुणा करें.
99-183+84
चरण 1.1.7.1.1.3.8
99 में से 183 घटाएं.
-84+84
चरण 1.1.7.1.1.3.9
-84 और 84 जोड़ें.
0
0
चरण 1.1.7.1.1.4
चूँकि 3 एक ज्ञात मूल है, बहुपद को λ-3 से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.
-λ3+14λ2-61λ+84λ-3
चरण 1.1.7.1.1.5
-λ3+14λ2-61λ+84 को λ-3 से विभाजित करें.
चरण 1.1.7.1.1.5.1
बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो 0 के मान वाला एक शब्द डालें.
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 |
चरण 1.1.7.1.1.5.2
भाज्य -λ3 के उच्च क्रम के पद को विभाजक λ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 |
चरण 1.1.7.1.1.5.3
भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| - | λ3 | + | 3λ2 |
चरण 1.1.7.1.1.5.4
व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए -λ3+3λ2 में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 |
चरण 1.1.7.1.1.5.5
संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 |
चरण 1.1.7.1.1.5.6
अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ |
चरण 1.1.7.1.1.5.7
भाज्य 11λ2 के उच्च क्रम के पद को विभाजक λ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ |
चरण 1.1.7.1.1.5.8
भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 33λ |
चरण 1.1.7.1.1.5.9
व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए 11λ2-33λ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ |
चरण 1.1.7.1.1.5.10
संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ |
चरण 1.1.7.1.1.5.11
अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 |
चरण 1.1.7.1.1.5.12
भाज्य -28λ के उच्च क्रम के पद को विभाजक λ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.
| - | λ2 | + | 11λ | - | 28 | ||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 |
चरण 1.1.7.1.1.5.13
भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.
| - | λ2 | + | 11λ | - | 28 | ||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 |
चरण 1.1.7.1.1.5.14
व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए -28λ+84 में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें
| - | λ2 | + | 11λ | - | 28 | ||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 | ||||||||
| + | 28λ | - | 84 |
चरण 1.1.7.1.1.5.15
संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.
| - | λ2 | + | 11λ | - | 28 | ||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 | ||||||||
| + | 28λ | - | 84 | ||||||||
| 0 |
चरण 1.1.7.1.1.5.16
Since the remainder is 0, the final answer is the quotient.
-λ2+11λ-28
-λ2+11λ-28
चरण 1.1.7.1.1.6
गुणनखंडों के एक सेट के रूप में -λ3+14λ2-61λ+84 लिखें.
(λ-3)(-λ2+11λ-28)=0
(λ-3)(-λ2+11λ-28)=0
चरण 1.1.7.1.2
वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.
चरण 1.1.7.1.2.1
वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.
चरण 1.1.7.1.2.1.1
फॉर्म ax2+bx+c के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल a⋅c=-1⋅-28=28 है और जिसका योग b=11 है.
चरण 1.1.7.1.2.1.1.1
11λ में से 11 का गुणनखंड करें.
(λ-3)(-λ2+11(λ)-28)=0
चरण 1.1.7.1.2.1.1.2
11 को 4 जोड़ 7 के रूप में फिर से लिखें
(λ-3)(-λ2+(4+7)λ-28)=0
चरण 1.1.7.1.2.1.1.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
(λ-3)(-λ2+4λ+7λ-28)=0
(λ-3)(-λ2+4λ+7λ-28)=0
चरण 1.1.7.1.2.1.2
प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.
चरण 1.1.7.1.2.1.2.1
पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.
(λ-3)((-λ2+4λ)+7λ-28)=0
चरण 1.1.7.1.2.1.2.2
प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.
(λ-3)(λ(-λ+4)-7(-λ+4))=0
(λ-3)(λ(-λ+4)-7(-λ+4))=0
चरण 1.1.7.1.2.1.3
महत्तम समापवर्तक, -λ+4 का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.
(λ-3)((-λ+4)(λ-7))=0
(λ-3)((-λ+4)(λ-7))=0
चरण 1.1.7.1.2.2
अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
चरण 1.1.7.2
यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड 0 के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक 0 के बराबर होगा.
λ-3=0
-λ+4=0
λ-7=0
चरण 1.1.7.3
λ-3 को 0 के बराबर सेट करें और λ के लिए हल करें.
चरण 1.1.7.3.1
λ-3 को 0 के बराबर सेट करें.
λ-3=0
चरण 1.1.7.3.2
समीकरण के दोनों पक्षों में 3 जोड़ें.
λ=3
λ=3
चरण 1.1.7.4
-λ+4 को 0 के बराबर सेट करें और λ के लिए हल करें.
चरण 1.1.7.4.1
-λ+4 को 0 के बराबर सेट करें.
-λ+4=0
चरण 1.1.7.4.2
λ के लिए -λ+4=0 हल करें.
चरण 1.1.7.4.2.1
समीकरण के दोनों पक्षों से 4 घटाएं.
-λ=-4
चरण 1.1.7.4.2.2
-λ=-4 के प्रत्येक पद को -1 से भाग दें और सरल करें.
चरण 1.1.7.4.2.2.1
-λ=-4 के प्रत्येक पद को -1 से विभाजित करें.
-λ-1=-4-1
चरण 1.1.7.4.2.2.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.1.7.4.2.2.2.1
दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.
λ1=-4-1
चरण 1.1.7.4.2.2.2.2
λ को 1 से विभाजित करें.
λ=-4-1
λ=-4-1
चरण 1.1.7.4.2.2.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.1.7.4.2.2.3.1
-4 को -1 से विभाजित करें.
λ=4
λ=4
λ=4
λ=4
λ=4
चरण 1.1.7.5
λ-7 को 0 के बराबर सेट करें और λ के लिए हल करें.
चरण 1.1.7.5.1
λ-7 को 0 के बराबर सेट करें.
λ-7=0
चरण 1.1.7.5.2
समीकरण के दोनों पक्षों में 7 जोड़ें.
λ=7
λ=7
चरण 1.1.7.6
अंतिम हल वो सभी मान हैं जो (λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0 को सिद्ध करते हैं.
λ=3,4,7
λ=3,4,7
λ=3,4,7
चरण 1.2
ईजेनवेक्टर मैट्रिक्स के शून्य स्थान के बराबर है, सर्वसमिका मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू गुणा को घटाता है जहां N रिक्त स्थान है और I सर्वसमिका मैट्रिक्स है.
εA=N(A-λI3)
चरण 1.3
अभिलक्षणिक मान λ=3 का उपयोग करके अभिलक्षणिक सदिश पता करें.
चरण 1.3.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
N([5202504-14]-3[100010001])
चरण 1.3.2
सरल करें.
चरण 1.3.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.3.2.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -3 को गुणा करें.
[5202504-14]+[-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
चरण 1.3.2.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 1.3.2.1.2.1
-3 को 1 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-3-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
चरण 1.3.2.1.2.2
-3 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-30-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
चरण 1.3.2.1.2.3
-3 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-300-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
चरण 1.3.2.1.2.4
-3 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-3000-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
चरण 1.3.2.1.2.5
-3 को 1 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-3000-3-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
चरण 1.3.2.1.2.6
-3 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-3000-30-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
चरण 1.3.2.1.2.7
-3 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-3000-300-3⋅0-3⋅1]
चरण 1.3.2.1.2.8
-3 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-3000-3000-3⋅1]
चरण 1.3.2.1.2.9
-3 को 1 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
चरण 1.3.2.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
[5-32+00+02+05-30+04+0-1+04-3]
चरण 1.3.2.3
प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.
चरण 1.3.2.3.1
5 में से 3 घटाएं.
[22+00+02+05-30+04+0-1+04-3]
चरण 1.3.2.3.2
2 और 0 जोड़ें.
[220+02+05-30+04+0-1+04-3]
चरण 1.3.2.3.3
0 और 0 जोड़ें.
[2202+05-30+04+0-1+04-3]
चरण 1.3.2.3.4
2 और 0 जोड़ें.
[22025-30+04+0-1+04-3]
चरण 1.3.2.3.5
5 में से 3 घटाएं.
[220220+04+0-1+04-3]
चरण 1.3.2.3.6
0 और 0 जोड़ें.
[2202204+0-1+04-3]
चरण 1.3.2.3.7
4 और 0 जोड़ें.
[2202204-1+04-3]
चरण 1.3.2.3.8
-1 और 0 जोड़ें.
[2202204-14-3]
चरण 1.3.2.3.9
4 में से 3 घटाएं.
[2202204-11]
[2202204-11]
[2202204-11]
चरण 1.3.3
λ=3 होने पर रिक्त स्थान पता करें.
चरण 1.3.3.1
Ax=0 के लिए संवर्धित मैट्रिक्स के रूप में लिखें.
[220022004-110]
चरण 1.3.3.2
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 1.3.3.2.1
1,1 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R1 के प्रत्येक तत्व को 12 से गुणा करें.
चरण 1.3.3.2.1.1
1,1 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R1 के प्रत्येक तत्व को 12 से गुणा करें.
[2222020222004-110]
चरण 1.3.3.2.1.2
R1 को सरल करें.
[110022004-110]
[110022004-110]
चरण 1.3.3.2.2
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-2R1 करें.
चरण 1.3.3.2.2.1
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-2R1 करें.
[11002-2⋅12-2⋅10-2⋅00-2⋅04-110]
चरण 1.3.3.2.2.2
R2 को सरल करें.
[110000004-110]
[110000004-110]
चरण 1.3.3.2.3
3,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3-4R1 करें.
चरण 1.3.3.2.3.1
3,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3-4R1 करें.
[110000004-4⋅1-1-4⋅11-4⋅00-4⋅0]
चरण 1.3.3.2.3.2
R3 को सरल करें.
[110000000-510]
[110000000-510]
चरण 1.3.3.2.4
2,2 पर एक गैर-शून्य प्रविष्टि करने के लिए R3 को R2 से स्वैप करें.
[11000-5100000]
चरण 1.3.3.2.5
2,2 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R2 के प्रत्येक तत्व को -15 से गुणा करें.
चरण 1.3.3.2.5.1
2,2 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R2 के प्रत्येक तत्व को -15 से गुणा करें.
[1100-15⋅0-15⋅-5-15⋅1-15⋅00000]
चरण 1.3.3.2.5.2
R2 को सरल करें.
[110001-1500000]
[110001-1500000]
चरण 1.3.3.2.6
1,2 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R1=R1-R2 करें.
चरण 1.3.3.2.6.1
1,2 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R1=R1-R2 करें.
[1-01-10+150-001-1500000]
चरण 1.3.3.2.6.2
R1 को सरल करें.
[1015001-1500000]
[1015001-1500000]
[1015001-1500000]
चरण 1.3.3.3
समीकरणों के निकाय का अंतिम समाधान घोषित करने के लिए परिणाम मैट्रिक्स का उपयोग करें.
x+15z=0
y-15z=0
0=0
चरण 1.3.3.4
प्रत्येक पंक्ति में मुक्त चरों के संदर्भ में हल करके एक समाधान सदिश लिखें.
[xyz]=[-z5z5z]
चरण 1.3.3.5
समाधान को सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखें.
[xyz]=z[-15151]
चरण 1.3.3.6
समाधान सेट के रूप में लिखें.
{z[-15151]|z∈R}
चरण 1.3.3.7
समाधान सिस्टम के मुक्त चर से बनाएं गए सदिश का सेट है.
{[-15151]}
{[-15151]}
{[-15151]}
चरण 1.4
अभिलक्षणिक मान λ=4 का उपयोग करके अभिलक्षणिक सदिश पता करें.
चरण 1.4.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
N([5202504-14]-4[100010001])
चरण 1.4.2
सरल करें.
चरण 1.4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.4.2.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -4 को गुणा करें.
[5202504-14]+[-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
चरण 1.4.2.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 1.4.2.1.2.1
-4 को 1 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-4-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
चरण 1.4.2.1.2.2
-4 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-40-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
चरण 1.4.2.1.2.3
-4 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-400-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
चरण 1.4.2.1.2.4
-4 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-4000-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
चरण 1.4.2.1.2.5
-4 को 1 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-4000-4-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
चरण 1.4.2.1.2.6
-4 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-4000-40-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
चरण 1.4.2.1.2.7
-4 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-4000-400-4⋅0-4⋅1]
चरण 1.4.2.1.2.8
-4 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-4000-4000-4⋅1]
चरण 1.4.2.1.2.9
-4 को 1 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
चरण 1.4.2.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
[5-42+00+02+05-40+04+0-1+04-4]
चरण 1.4.2.3
प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.
चरण 1.4.2.3.1
5 में से 4 घटाएं.
[12+00+02+05-40+04+0-1+04-4]
चरण 1.4.2.3.2
2 और 0 जोड़ें.
[120+02+05-40+04+0-1+04-4]
चरण 1.4.2.3.3
0 और 0 जोड़ें.
[1202+05-40+04+0-1+04-4]
चरण 1.4.2.3.4
2 और 0 जोड़ें.
[12025-40+04+0-1+04-4]
चरण 1.4.2.3.5
5 में से 4 घटाएं.
[120210+04+0-1+04-4]
चरण 1.4.2.3.6
0 और 0 जोड़ें.
[1202104+0-1+04-4]
चरण 1.4.2.3.7
4 और 0 जोड़ें.
[1202104-1+04-4]
चरण 1.4.2.3.8
-1 और 0 जोड़ें.
[1202104-14-4]
चरण 1.4.2.3.9
4 में से 4 घटाएं.
[1202104-10]
[1202104-10]
[1202104-10]
चरण 1.4.3
λ=4 होने पर रिक्त स्थान पता करें.
चरण 1.4.3.1
Ax=0 के लिए संवर्धित मैट्रिक्स के रूप में लिखें.
[120021004-100]
चरण 1.4.3.2
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 1.4.3.2.1
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-2R1 करें.
चरण 1.4.3.2.1.1
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-2R1 करें.
[12002-2⋅11-2⋅20-2⋅00-2⋅04-100]
चरण 1.4.3.2.1.2
R2 को सरल करें.
[12000-3004-100]
[12000-3004-100]
चरण 1.4.3.2.2
3,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3-4R1 करें.
चरण 1.4.3.2.2.1
3,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3-4R1 करें.
[12000-3004-4⋅1-1-4⋅20-4⋅00-4⋅0]
चरण 1.4.3.2.2.2
R3 को सरल करें.
[12000-3000-900]
[12000-3000-900]
चरण 1.4.3.2.3
2,2 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R2 के प्रत्येक तत्व को -13 से गुणा करें.
चरण 1.4.3.2.3.1
2,2 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R2 के प्रत्येक तत्व को -13 से गुणा करें.
[1200-13⋅0-13⋅-3-13⋅0-13⋅00-900]
चरण 1.4.3.2.3.2
R2 को सरल करें.
[120001000-900]
[120001000-900]
चरण 1.4.3.2.4
3,2 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3+9R2 करें.
चरण 1.4.3.2.4.1
3,2 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3+9R2 करें.
[120001000+9⋅0-9+9⋅10+9⋅00+9⋅0]
चरण 1.4.3.2.4.2
R3 को सरल करें.
[120001000000]
[120001000000]
चरण 1.4.3.2.5
1,2 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R1=R1-2R2 करें.
चरण 1.4.3.2.5.1
1,2 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R1=R1-2R2 करें.
[1-2⋅02-2⋅10-2⋅00-2⋅001000000]
चरण 1.4.3.2.5.2
R1 को सरल करें.
[100001000000]
[100001000000]
[100001000000]
चरण 1.4.3.3
समीकरणों के निकाय का अंतिम समाधान घोषित करने के लिए परिणाम मैट्रिक्स का उपयोग करें.
x=0
y=0
0=0
चरण 1.4.3.4
प्रत्येक पंक्ति में मुक्त चरों के संदर्भ में हल करके एक समाधान सदिश लिखें.
[xyz]=[00z]
चरण 1.4.3.5
समाधान को सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखें.
[xyz]=z[001]
चरण 1.4.3.6
समाधान सेट के रूप में लिखें.
{z[001]|z∈R}
चरण 1.4.3.7
समाधान सिस्टम के मुक्त चर से बनाएं गए सदिश का सेट है.
{[001]}
{[001]}
{[001]}
चरण 1.5
अभिलक्षणिक मान λ=7 का उपयोग करके अभिलक्षणिक सदिश पता करें.
चरण 1.5.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
N([5202504-14]-7[100010001])
चरण 1.5.2
सरल करें.
चरण 1.5.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.2.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -7 को गुणा करें.
[5202504-14]+[-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
चरण 1.5.2.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 1.5.2.1.2.1
-7 को 1 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-7-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
चरण 1.5.2.1.2.2
-7 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-70-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
चरण 1.5.2.1.2.3
-7 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-700-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
चरण 1.5.2.1.2.4
-7 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-7000-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
चरण 1.5.2.1.2.5
-7 को 1 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-7000-7-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
चरण 1.5.2.1.2.6
-7 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-7000-70-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
चरण 1.5.2.1.2.7
-7 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-7000-700-7⋅0-7⋅1]
चरण 1.5.2.1.2.8
-7 को 0 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-7000-7000-7⋅1]
चरण 1.5.2.1.2.9
-7 को 1 से गुणा करें.
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
चरण 1.5.2.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
[5-72+00+02+05-70+04+0-1+04-7]
चरण 1.5.2.3
प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.
चरण 1.5.2.3.1
5 में से 7 घटाएं.
[-22+00+02+05-70+04+0-1+04-7]
चरण 1.5.2.3.2
2 और 0 जोड़ें.
[-220+02+05-70+04+0-1+04-7]
चरण 1.5.2.3.3
0 और 0 जोड़ें.
[-2202+05-70+04+0-1+04-7]
चरण 1.5.2.3.4
2 और 0 जोड़ें.
[-22025-70+04+0-1+04-7]
चरण 1.5.2.3.5
5 में से 7 घटाएं.
[-2202-20+04+0-1+04-7]
चरण 1.5.2.3.6
0 और 0 जोड़ें.
[-2202-204+0-1+04-7]
चरण 1.5.2.3.7
4 और 0 जोड़ें.
[-2202-204-1+04-7]
चरण 1.5.2.3.8
-1 और 0 जोड़ें.
[-2202-204-14-7]
चरण 1.5.2.3.9
4 में से 7 घटाएं.
[-2202-204-1-3]
[-2202-204-1-3]
[-2202-204-1-3]
चरण 1.5.3
λ=7 होने पर रिक्त स्थान पता करें.
चरण 1.5.3.1
Ax=0 के लिए संवर्धित मैट्रिक्स के रूप में लिखें.
[-22002-2004-1-30]
चरण 1.5.3.2
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 1.5.3.2.1
1,1 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R1 के प्रत्येक तत्व को -12 से गुणा करें.
चरण 1.5.3.2.1.1
1,1 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R1 के प्रत्येक तत्व को -12 से गुणा करें.
[-12⋅-2-12⋅2-12⋅0-12⋅02-2004-1-30]
चरण 1.5.3.2.1.2
R1 को सरल करें.
[1-1002-2004-1-30]
[1-1002-2004-1-30]
चरण 1.5.3.2.2
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-2R1 करें.
चरण 1.5.3.2.2.1
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-2R1 करें.
[1-1002-2⋅1-2-2⋅-10-2⋅00-2⋅04-1-30]
चरण 1.5.3.2.2.2
R2 को सरल करें.
[1-10000004-1-30]
[1-10000004-1-30]
चरण 1.5.3.2.3
3,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3-4R1 करें.
चरण 1.5.3.2.3.1
3,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3-4R1 करें.
[1-10000004-4⋅1-1-4⋅-1-3-4⋅00-4⋅0]
चरण 1.5.3.2.3.2
R3 को सरल करें.
[1-100000003-30]
[1-100000003-30]
चरण 1.5.3.2.4
2,2 पर एक गैर-शून्य प्रविष्टि करने के लिए R3 को R2 से स्वैप करें.
[1-10003-300000]
चरण 1.5.3.2.5
2,2 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R2 के प्रत्येक तत्व को 13 से गुणा करें.
चरण 1.5.3.2.5.1
2,2 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R2 के प्रत्येक तत्व को 13 से गुणा करें.
[1-1000333-33030000]
चरण 1.5.3.2.5.2
R2 को सरल करें.
[1-10001-100000]
[1-10001-100000]
चरण 1.5.3.2.6
1,2 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R1=R1+R2 करें.
चरण 1.5.3.2.6.1
1,2 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R1=R1+R2 करें.
[1+0-1+1⋅10-10+001-100000]
चरण 1.5.3.2.6.2
R1 को सरल करें.
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
चरण 1.5.3.3
समीकरणों के निकाय का अंतिम समाधान घोषित करने के लिए परिणाम मैट्रिक्स का उपयोग करें.
x-z=0
y-z=0
0=0
चरण 1.5.3.4
प्रत्येक पंक्ति में मुक्त चरों के संदर्भ में हल करके एक समाधान सदिश लिखें.
[xyz]=[zzz]
चरण 1.5.3.5
समाधान को सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखें.
[xyz]=z[111]
चरण 1.5.3.6
समाधान सेट के रूप में लिखें.
{z[111]|z∈R}
चरण 1.5.3.7
समाधान सिस्टम के मुक्त चर से बनाएं गए सदिश का सेट है.
{[111]}
{[111]}
{[111]}
चरण 1.6
A का का आइगेनस्पेस प्रत्येक अभिलाक्षणिक मान के लिए सदिश स्पेस की सूची है.
{[-15151],[001],[111]}
{[-15151],[001],[111]}
चरण 2
P को आइगेन सदिश की मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित करें.
P=[-15011501111]
चरण 3
चरण 3.1
सारणिक पता करें.
चरण 3.1.1
सर्वाधिक 0 तत्वों वाली पंक्ति या स्तंभ चुनें. यदि कोई 0 तत्व नहीं हैं तो कोई भी पंक्ति या कॉलम चुनें. कॉलम 2 में प्रत्येक तत्व को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें और जोड़ें.
चरण 3.1.1.1
संबंधित साइन चार्ट पर विचार करें.
|+-+-+-+-+|
चरण 3.1.1.2
यदि संकेतक साइन चार्ट पर - की स्थिति से मेल खाते हैं तो कोफ़ैक्टर माइनर है, जिसके चिन्ह को बदल दिया गया है.
चरण 3.1.1.3
a12 के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति 1 और कॉलम 2 को हटा दिया गया है.
|15111|
चरण 3.1.1.4
तत्व a12 को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.
0|15111|
चरण 3.1.1.5
a22 के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति 2 और कॉलम 2 को हटा दिया गया है.
|-15111|
चरण 3.1.1.6
तत्व a22 को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.
0|-15111|
चरण 3.1.1.7
a32 के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति 3 और कॉलम 2 को हटा दिया गया है.
|-151151|
चरण 3.1.1.8
तत्व a32 को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.
-1|-151151|
चरण 3.1.1.9
पदों को एक साथ जोड़ें.
0|15111|+0|-15111|-1|-151151|
0|15111|+0|-15111|-1|-151151|
चरण 3.1.2
0 को |15111| से गुणा करें.
0+0|-15111|-1|-151151|
चरण 3.1.3
0 को |-15111| से गुणा करें.
0+0-1|-151151|
चरण 3.1.4
|-151151| का मान ज्ञात करें.
चरण 3.1.4.1
2×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
0+0-1(-15⋅1-15⋅1)
चरण 3.1.4.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 3.1.4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 3.1.4.2.1.1
-1 को 1 से गुणा करें.
0+0-1(-15-15⋅1)
चरण 3.1.4.2.1.2
-1 को 1 से गुणा करें.
0+0-1(-15-15)
0+0-1(-15-15)
चरण 3.1.4.2.2
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
0+0-1-1-15
चरण 3.1.4.2.3
-1 में से 1 घटाएं.
0+0-1(-25)
चरण 3.1.4.2.4
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
0+0-1(-25)
0+0-1(-25)
0+0-1(-25)
चरण 3.1.5
सारणिक को सरल करें.
चरण 3.1.5.1
-1(-25) गुणा करें.
चरण 3.1.5.1.1
-1 को -1 से गुणा करें.
0+0+1(25)
चरण 3.1.5.1.2
25 को 1 से गुणा करें.
0+0+25
0+0+25
चरण 3.1.5.2
0 और 0 जोड़ें.
0+25
चरण 3.1.5.3
0 और 25 जोड़ें.
25
25
25
चरण 3.2
चूँकि निर्धारक गैर-शून्य है, व्युत्क्रम अस्तित्व में है.
चरण 3.3
एक 3×6 मैट्रिक्स सेट करें जहां बायां आधा मूल मैट्रिक्स है और दायां आधा इसकी सर्वसमिका मैट्रिक्स है.
P-1=[-15011001501010111001]
चरण 3.4
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 3.4.1
1,1 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R1 के प्रत्येक तत्व को -5 से गुणा करें.
चरण 3.4.1.1
1,1 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R1 के प्रत्येक तत्व को -5 से गुणा करें.
P-1=[-5(-15)-5⋅0-5⋅1-5⋅1-5⋅0-5⋅01501010111001]
चरण 3.4.1.2
R1 को सरल करें.
P-1=[10-5-5001501010111001]
P-1=[10-5-5001501010111001]
चरण 3.4.2
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-15R1 करें.
चरण 3.4.2.1
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-15R1 करें.
P-1=[10-5-50015-15⋅10-15⋅01-15⋅-50-15⋅-51-15⋅00-15⋅0111001]
चरण 3.4.2.2
R2 को सरल करें.
P-1=[10-5-500002110111001]
P-1=[10-5-500002110111001]
चरण 3.4.3
3,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3-R1 करें.
चरण 3.4.3.1
3,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3-R1 करें.
P-1=[10-5-5000021101-11-01+50+50-01-0]
चरण 3.4.3.2
R3 को सरल करें.
P-1=[10-5-500002110016501]
P-1=[10-5-500002110016501]
चरण 3.4.4
2,2 पर एक गैर-शून्य प्रविष्टि करने के लिए R3 को R2 से स्वैप करें.
P-1=[10-5-500016501002110]
चरण 3.4.5
3,3 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R3 के प्रत्येक तत्व को 12 से गुणा करें.
चरण 3.4.5.1
3,3 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R3 के प्रत्येक तत्व को 12 से गुणा करें.
P-1=[10-5-500016501020222121202]
चरण 3.4.5.2
R3 को सरल करें.
P-1=[10-5-50001650100112120]
P-1=[10-5-50001650100112120]
चरण 3.4.6
2,3 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-6R3 करें.
चरण 3.4.6.1
2,3 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-6R3 करें.
P-1=[10-5-5000-6⋅01-6⋅06-6⋅15-6(12)0-6(12)1-6⋅000112120]
चरण 3.4.6.2
R2 को सरल करें.
P-1=[10-5-5000102-3100112120]
P-1=[10-5-5000102-3100112120]
चरण 3.4.7
1,3 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R1=R1+5R3 करें.
चरण 3.4.7.1
1,3 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R1=R1+5R3 करें.
P-1=[1+5⋅00+5⋅0-5+5⋅1-5+5(12)0+5(12)0+5⋅00102-3100112120]
चरण 3.4.7.2
R1 को सरल करें.
P-1=[100-525200102-3100112120]
P-1=[100-525200102-3100112120]
P-1=[100-525200102-3100112120]
चरण 3.5
घटी हुई पंक्ति सोपानक रूप का दाहिना आधा भाग व्युत्क्रम है.
P-1=[-525202-3112120]
P-1=[-525202-3112120]
चरण 4
विकर्ण मैट्रिक्स D का पता लगाने के लिए समरूपता रूपांतर का उपयोग करें.
D=P-1AP
चरण 5
मेट्रिसेस को प्रतिस्थापित करें।
[-525202-3112120][5202504-14][-15011501111]
चरण 6
चरण 6.1
[-525202-3112120][5202504-14] गुणा करें.
चरण 6.1.1
दो आव्यूहों को गुणा किया जा सकता है यदि और केवल यदि पहले आव्यूह में स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो. इस स्थिति में, पहला मैट्रिक्स 3×3 है और दूसरा मैट्रिक्स 3×3 है.
चरण 6.1.2
पहले मैट्रिक्स में प्रत्येक पंक्ति को दूसरे मैट्रिक्स में प्रत्येक कॉलम से गुणा करें.
[-52⋅5+52⋅2+0⋅4-52⋅2+52⋅5+0⋅-1-52⋅0+52⋅0+0⋅42⋅5-3⋅2+1⋅42⋅2-3⋅5+1⋅-12⋅0-3⋅0+1⋅412⋅5+12⋅2+0⋅412⋅2+12⋅5+0⋅-112⋅0+12⋅0+0⋅4][-15011501111]
चरण 6.1.3
सभी व्यंजकों को गुणा करके आव्यूह के प्रत्येक अवयव को सरल करें.
[-15215208-12472720][-15011501111]
[-15215208-12472720][-15011501111]
चरण 6.2
[-15215208-12472720][-15011501111] गुणा करें.
चरण 6.2.1
दो आव्यूहों को गुणा किया जा सकता है यदि और केवल यदि पहले आव्यूह में स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो. इस स्थिति में, पहला मैट्रिक्स 3×3 है और दूसरा मैट्रिक्स 3×3 है.
चरण 6.2.2
पहले मैट्रिक्स में प्रत्येक पंक्ति को दूसरे मैट्रिक्स में प्रत्येक कॉलम से गुणा करें.
[-152(-15)+152⋅15+0⋅1-152⋅0+152⋅0+0⋅1-152⋅1+152⋅1+0⋅18(-15)-12(15)+4⋅18⋅0-12⋅0+4⋅18⋅1-12⋅1+4⋅172(-15)+72⋅15+0⋅172⋅0+72⋅0+0⋅172⋅1+72⋅1+0⋅1]
चरण 6.2.3
सभी व्यंजकों को गुणा करके आव्यूह के प्रत्येक अवयव को सरल करें.
[300040007]
[300040007]
[300040007]
