लीनियर एलजेब्रा उदाहरण
[4233][4233]
चरण 1
चरण 1.1
अभिलाक्षणिक मान पता करें.
चरण 1.1.1
अभिलक्षणिक समीकरण p(λ)p(λ) ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.
p(λ)=सारणिक(A-λI2)
चरण 1.1.2
सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स 2 2×2 वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.
[1001]
चरण 1.1.3
ज्ञात मानों को p(λ)=सारणिक(A-λI2) में प्रतिस्थापित करें.
चरण 1.1.3.1
[4233] को A से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([4233]-λI2)
चरण 1.1.3.2
[1001] को I2 से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([4233]-λ[1001])
p(λ)=सारणिक([4233]-λ[1001])
चरण 1.1.4
सरल करें.
चरण 1.1.4.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.1.4.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -λ को गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([4233]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 1.1.4.1.2.1
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([4233]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.2
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.1.4.1.2.2.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([4233]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.2.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([4233]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([4233]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.3
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.1.4.1.2.3.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([4233]+[-λ00λ-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.3.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([4233]+[-λ00-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([4233]+[-λ00-λ⋅1])
चरण 1.1.4.1.2.4
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([4233]+[-λ00-λ])
p(λ)=सारणिक([4233]+[-λ00-λ])
p(λ)=सारणिक([4233]+[-λ00-λ])
चरण 1.1.4.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[4-λ2+03+03-λ]
चरण 1.1.4.3
प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.
चरण 1.1.4.3.1
2 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[4-λ23+03-λ]
चरण 1.1.4.3.2
3 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[4-λ233-λ]
p(λ)=सारणिक[4-λ233-λ]
p(λ)=सारणिक[4-λ233-λ]
चरण 1.1.5
सारणिक पता करें.
चरण 1.1.5.1
2×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
p(λ)=(4-λ)(3-λ)-3⋅2
चरण 1.1.5.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 1.1.5.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.1.5.2.1.1
FOIL विधि का उपयोग करके (4-λ)(3-λ) का प्रसार करें.
चरण 1.1.5.2.1.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=4(3-λ)-λ(3-λ)-3⋅2
चरण 1.1.5.2.1.1.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=4⋅3+4(-λ)-λ(3-λ)-3⋅2
चरण 1.1.5.2.1.1.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=4⋅3+4(-λ)-λ⋅3-λ(-λ)-3⋅2
p(λ)=4⋅3+4(-λ)-λ⋅3-λ(-λ)-3⋅2
चरण 1.1.5.2.1.2
समान पदों को सरल और संयोजित करें.
चरण 1.1.5.2.1.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.1.5.2.1.2.1.1
4 को 3 से गुणा करें.
p(λ)=12+4(-λ)-λ⋅3-λ(-λ)-3⋅2
चरण 1.1.5.2.1.2.1.2
-1 को 4 से गुणा करें.
p(λ)=12-4λ-λ⋅3-λ(-λ)-3⋅2
चरण 1.1.5.2.1.2.1.3
3 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=12-4λ-3λ-λ(-λ)-3⋅2
चरण 1.1.5.2.1.2.1.4
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=12-4λ-3λ-1⋅-1λ⋅λ-3⋅2
चरण 1.1.5.2.1.2.1.5
घातांक जोड़कर λ को λ से गुणा करें.
चरण 1.1.5.2.1.2.1.5.1
λ ले जाएं.
p(λ)=12-4λ-3λ-1⋅-1(λ⋅λ)-3⋅2
चरण 1.1.5.2.1.2.1.5.2
λ को λ से गुणा करें.
p(λ)=12-4λ-3λ-1⋅-1λ2-3⋅2
p(λ)=12-4λ-3λ-1⋅-1λ2-3⋅2
चरण 1.1.5.2.1.2.1.6
-1 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=12-4λ-3λ+1λ2-3⋅2
चरण 1.1.5.2.1.2.1.7
λ2 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=12-4λ-3λ+λ2-3⋅2
p(λ)=12-4λ-3λ+λ2-3⋅2
चरण 1.1.5.2.1.2.2
-4λ में से 3λ घटाएं.
p(λ)=12-7λ+λ2-3⋅2
p(λ)=12-7λ+λ2-3⋅2
चरण 1.1.5.2.1.3
-3 को 2 से गुणा करें.
p(λ)=12-7λ+λ2-6
p(λ)=12-7λ+λ2-6
चरण 1.1.5.2.2
12 में से 6 घटाएं.
p(λ)=-7λ+λ2+6
चरण 1.1.5.2.3
-7λ और λ2 को पुन: क्रमित करें.
p(λ)=λ2-7λ+6
p(λ)=λ2-7λ+6
p(λ)=λ2-7λ+6
चरण 1.1.6
आइगेन मान λ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को 0 के बराबर सेट करें.
λ2-7λ+6=0
चरण 1.1.7
λ के लिए हल करें.
चरण 1.1.7.1
AC विधि का उपयोग करके λ2-7λ+6 का गुणनखंड करें.
चरण 1.1.7.1.1
x2+bx+c के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल c है और जिसका योग b है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल 6 है और जिसका योग -7 है.
-6,-1
चरण 1.1.7.1.2
इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.
(λ-6)(λ-1)=0
(λ-6)(λ-1)=0
चरण 1.1.7.2
यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड 0 के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक 0 के बराबर होगा.
λ-6=0
λ-1=0
चरण 1.1.7.3
λ-6 को 0 के बराबर सेट करें और λ के लिए हल करें.
चरण 1.1.7.3.1
λ-6 को 0 के बराबर सेट करें.
λ-6=0
चरण 1.1.7.3.2
समीकरण के दोनों पक्षों में 6 जोड़ें.
λ=6
λ=6
चरण 1.1.7.4
λ-1 को 0 के बराबर सेट करें और λ के लिए हल करें.
चरण 1.1.7.4.1
λ-1 को 0 के बराबर सेट करें.
λ-1=0
चरण 1.1.7.4.2
समीकरण के दोनों पक्षों में 1 जोड़ें.
λ=1
λ=1
चरण 1.1.7.5
अंतिम हल वो सभी मान हैं जो (λ-6)(λ-1)=0 को सिद्ध करते हैं.
λ=6,1
λ=6,1
λ=6,1
चरण 1.2
ईजेनवेक्टर मैट्रिक्स के शून्य स्थान के बराबर है, सर्वसमिका मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू गुणा को घटाता है जहां N रिक्त स्थान है और I सर्वसमिका मैट्रिक्स है.
εA=N(A-λI2)
चरण 1.3
अभिलक्षणिक मान λ=6 का उपयोग करके अभिलक्षणिक सदिश पता करें.
चरण 1.3.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
N([4233]-6[1001])
चरण 1.3.2
सरल करें.
चरण 1.3.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.3.2.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -6 को गुणा करें.
[4233]+[-6⋅1-6⋅0-6⋅0-6⋅1]
चरण 1.3.2.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 1.3.2.1.2.1
-6 को 1 से गुणा करें.
[4233]+[-6-6⋅0-6⋅0-6⋅1]
चरण 1.3.2.1.2.2
-6 को 0 से गुणा करें.
[4233]+[-60-6⋅0-6⋅1]
चरण 1.3.2.1.2.3
-6 को 0 से गुणा करें.
[4233]+[-600-6⋅1]
चरण 1.3.2.1.2.4
-6 को 1 से गुणा करें.
[4233]+[-600-6]
[4233]+[-600-6]
[4233]+[-600-6]
चरण 1.3.2.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
[4-62+03+03-6]
चरण 1.3.2.3
प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.
चरण 1.3.2.3.1
4 में से 6 घटाएं.
[-22+03+03-6]
चरण 1.3.2.3.2
2 और 0 जोड़ें.
[-223+03-6]
चरण 1.3.2.3.3
3 और 0 जोड़ें.
[-2233-6]
चरण 1.3.2.3.4
3 में से 6 घटाएं.
[-223-3]
[-223-3]
[-223-3]
चरण 1.3.3
λ=6 होने पर रिक्त स्थान पता करें.
चरण 1.3.3.1
Ax=0 के लिए संवर्धित मैट्रिक्स के रूप में लिखें.
[-2203-30]
चरण 1.3.3.2
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 1.3.3.2.1
1,1 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R1 के प्रत्येक तत्व को -12 से गुणा करें.
चरण 1.3.3.2.1.1
1,1 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R1 के प्रत्येक तत्व को -12 से गुणा करें.
[-12⋅-2-12⋅2-12⋅03-30]
चरण 1.3.3.2.1.2
R1 को सरल करें.
[1-103-30]
[1-103-30]
चरण 1.3.3.2.2
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-3R1 करें.
चरण 1.3.3.2.2.1
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-3R1 करें.
[1-103-3⋅1-3-3⋅-10-3⋅0]
चरण 1.3.3.2.2.2
R2 को सरल करें.
[1-10000]
[1-10000]
[1-10000]
चरण 1.3.3.3
समीकरणों के निकाय का अंतिम समाधान घोषित करने के लिए परिणाम मैट्रिक्स का उपयोग करें.
x-y=0
0=0
चरण 1.3.3.4
प्रत्येक पंक्ति में मुक्त चरों के संदर्भ में हल करके एक समाधान सदिश लिखें.
[xy]=[yy]
चरण 1.3.3.5
समाधान को सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखें.
[xy]=y[11]
चरण 1.3.3.6
समाधान सेट के रूप में लिखें.
{y[11]|y∈R}
चरण 1.3.3.7
समाधान सिस्टम के मुक्त चर से बनाएं गए सदिश का सेट है.
{[11]}
{[11]}
{[11]}
चरण 1.4
अभिलक्षणिक मान λ=1 का उपयोग करके अभिलक्षणिक सदिश पता करें.
चरण 1.4.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
N([4233]-[1001])
चरण 1.4.2
सरल करें.
चरण 1.4.2.1
संबंधित तत्वों को घटाएं.
[4-12-03-03-1]
चरण 1.4.2.2
प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.
चरण 1.4.2.2.1
4 में से 1 घटाएं.
[32-03-03-1]
चरण 1.4.2.2.2
2 में से 0 घटाएं.
[323-03-1]
चरण 1.4.2.2.3
3 में से 0 घटाएं.
[3233-1]
चरण 1.4.2.2.4
3 में से 1 घटाएं.
[3232]
[3232]
[3232]
चरण 1.4.3
λ=1 होने पर रिक्त स्थान पता करें.
चरण 1.4.3.1
Ax=0 के लिए संवर्धित मैट्रिक्स के रूप में लिखें.
[320320]
चरण 1.4.3.2
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 1.4.3.2.1
1,1 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R1 के प्रत्येक तत्व को 13 से गुणा करें.
चरण 1.4.3.2.1.1
1,1 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R1 के प्रत्येक तत्व को 13 से गुणा करें.
[332303320]
चरण 1.4.3.2.1.2
R1 को सरल करें.
[1230320]
[1230320]
चरण 1.4.3.2.2
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-3R1 करें.
चरण 1.4.3.2.2.1
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-3R1 करें.
[12303-3⋅12-3(23)0-3⋅0]
चरण 1.4.3.2.2.2
R2 को सरल करें.
[1230000]
[1230000]
[1230000]
चरण 1.4.3.3
समीकरणों के निकाय का अंतिम समाधान घोषित करने के लिए परिणाम मैट्रिक्स का उपयोग करें.
x+23y=0
0=0
चरण 1.4.3.4
प्रत्येक पंक्ति में मुक्त चरों के संदर्भ में हल करके एक समाधान सदिश लिखें.
[xy]=[-2y3y]
चरण 1.4.3.5
समाधान को सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखें.
[xy]=y[-231]
चरण 1.4.3.6
समाधान सेट के रूप में लिखें.
{y[-231]|y∈R}
चरण 1.4.3.7
समाधान सिस्टम के मुक्त चर से बनाएं गए सदिश का सेट है.
{[-231]}
{[-231]}
{[-231]}
चरण 1.5
A का का आइगेनस्पेस प्रत्येक अभिलाक्षणिक मान के लिए सदिश स्पेस की सूची है.
{[11],[-231]}
{[11],[-231]}
चरण 2
P को आइगेन सदिश की मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित करें.
P=[1-2311]
चरण 3
चरण 3.1
2×2 मैट्रिक्स का व्युत्क्रम सूत्र 1ad-bc[d-b-ca] का उपयोग करके पाया जा सकता है, जहां ad-bc निर्धारक है.
चरण 3.2
सारणिक पता करें.
चरण 3.2.1
2×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
1⋅1--23
चरण 3.2.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 3.2.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 3.2.2.1.1
1 को 1 से गुणा करें.
1--23
चरण 3.2.2.1.2
--23 गुणा करें.
चरण 3.2.2.1.2.1
-1 को -1 से गुणा करें.
1+1(23)
चरण 3.2.2.1.2.2
23 को 1 से गुणा करें.
1+23
1+23
1+23
चरण 3.2.2.2
एक सामान्य भाजक के साथ 1 को भिन्न के रूप में लिखें.
33+23
चरण 3.2.2.3
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
3+23
चरण 3.2.2.4
3 और 2 जोड़ें.
53
53
53
चरण 3.3
चूँकि निर्धारक गैर-शून्य है, व्युत्क्रम अस्तित्व में है.
चरण 3.4
व्युत्क्रम के सूत्र में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें.
P-1=153[123-11]
चरण 3.5
भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.
P-1=1(35)[123-11]
चरण 3.6
35 को 1 से गुणा करें.
P-1=35[123-11]
चरण 3.7
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से 35 को गुणा करें.
P-1=[35⋅135⋅2335⋅-135⋅1]
चरण 3.8
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 3.8.1
35 को 1 से गुणा करें.
P-1=[3535⋅2335⋅-135⋅1]
चरण 3.8.2
3 का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 3.8.2.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
P-1=[3535⋅2335⋅-135⋅1]
चरण 3.8.2.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
P-1=[3515⋅235⋅-135⋅1]
P-1=[3515⋅235⋅-135⋅1]
चरण 3.8.3
15 और 2 को मिलाएं.
P-1=[352535⋅-135⋅1]
चरण 3.8.4
35⋅-1 गुणा करें.
चरण 3.8.4.1
35 और -1 को मिलाएं.
P-1=[35253⋅-1535⋅1]
चरण 3.8.4.2
3 को -1 से गुणा करें.
P-1=[3525-3535⋅1]
P-1=[3525-3535⋅1]
चरण 3.8.5
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
P-1=[3525-3535⋅1]
चरण 3.8.6
35 को 1 से गुणा करें.
P-1=[3525-3535]
P-1=[3525-3535]
P-1=[3525-3535]
चरण 4
विकर्ण मैट्रिक्स D का पता लगाने के लिए समरूपता रूपांतर का उपयोग करें.
D=P-1AP
चरण 5
मेट्रिसेस को प्रतिस्थापित करें।
[3525-3535][4233][1-2311]
चरण 6
चरण 6.1
[3525-3535][4233] गुणा करें.
चरण 6.1.1
दो आव्यूहों को गुणा किया जा सकता है यदि और केवल यदि पहले आव्यूह में स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो. इस स्थिति में, पहला मैट्रिक्स 2×2 है और दूसरा मैट्रिक्स 2×2 है.
चरण 6.1.2
पहले मैट्रिक्स में प्रत्येक पंक्ति को दूसरे मैट्रिक्स में प्रत्येक कॉलम से गुणा करें.
[35⋅4+25⋅335⋅2+25⋅3-35⋅4+35⋅3-35⋅2+35⋅3][1-2311]
चरण 6.1.3
सभी व्यंजकों को गुणा करके आव्यूह के प्रत्येक अवयव को सरल करें.
[185125-3535][1-2311]
[185125-3535][1-2311]
चरण 6.2
[185125-3535][1-2311] गुणा करें.
चरण 6.2.1
दो आव्यूहों को गुणा किया जा सकता है यदि और केवल यदि पहले आव्यूह में स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो. इस स्थिति में, पहला मैट्रिक्स 2×2 है और दूसरा मैट्रिक्स 2×2 है.
चरण 6.2.2
पहले मैट्रिक्स में प्रत्येक पंक्ति को दूसरे मैट्रिक्स में प्रत्येक कॉलम से गुणा करें.
[185⋅1+125⋅1185(-23)+125⋅1-35⋅1+35⋅1-35(-23)+35⋅1]
चरण 6.2.3
सभी व्यंजकों को गुणा करके आव्यूह के प्रत्येक अवयव को सरल करें.
[6001]
[6001]
[6001]
