लीनियर एलजेब्रा उदाहरण
चरण 1
चरण 1.1
अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.
चरण 1.2
सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.
चरण 1.3
ज्ञात मानों को में प्रतिस्थापित करें.
चरण 1.3.1
को से प्रतिस्थापित करें.
चरण 1.3.2
को से प्रतिस्थापित करें.
चरण 1.4
सरल करें.
चरण 1.4.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.4.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से को गुणा करें.
चरण 1.4.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 1.4.1.2.1
को से गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.2
गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.2.1
को से गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.2.2
को से गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.3
गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.3.1
को से गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.3.2
को से गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.4
गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.4.1
को से गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.4.2
को से गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.5
को से गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.6
गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.6.1
को से गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.6.2
को से गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.7
गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.7.1
को से गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.7.2
को से गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.8
गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.8.1
को से गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.8.2
को से गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.9
को से गुणा करें.
चरण 1.4.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
चरण 1.4.3
Simplify each element.
चरण 1.4.3.1
और जोड़ें.
चरण 1.4.3.2
और जोड़ें.
चरण 1.4.3.3
और जोड़ें.
चरण 1.4.3.4
और जोड़ें.
चरण 1.4.3.5
और जोड़ें.
चरण 1.4.3.6
और जोड़ें.
चरण 1.5
Find the determinant.
चरण 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
चरण 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
चरण 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
चरण 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
चरण 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
चरण 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
चरण 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
चरण 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
चरण 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
चरण 1.5.1.9
Add the terms together.
चरण 1.5.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 1.5.2.1
मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
चरण 1.5.2.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 1.5.2.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.2.2.1.1
FOIL विधि का उपयोग करके का प्रसार करें.
चरण 1.5.2.2.1.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.5.2.2.1.1.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.5.2.2.1.1.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.5.2.2.1.2
समान पदों को सरल और संयोजित करें.
चरण 1.5.2.2.1.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.2.2.1.2.1.1
को से गुणा करें.
चरण 1.5.2.2.1.2.1.2
को से गुणा करें.
चरण 1.5.2.2.1.2.1.3
को से गुणा करें.
चरण 1.5.2.2.1.2.1.4
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
चरण 1.5.2.2.1.2.1.5
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 1.5.2.2.1.2.1.5.1
ले जाएं.
चरण 1.5.2.2.1.2.1.5.2
को से गुणा करें.
चरण 1.5.2.2.1.2.1.6
को से गुणा करें.
चरण 1.5.2.2.1.2.1.7
को से गुणा करें.
चरण 1.5.2.2.1.2.2
में से घटाएं.
चरण 1.5.2.2.1.3
को से गुणा करें.
चरण 1.5.2.2.2
में से घटाएं.
चरण 1.5.2.2.3
और को पुन: क्रमित करें.
चरण 1.5.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 1.5.3.1
मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
चरण 1.5.3.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 1.5.3.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.3.2.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.5.3.2.1.2
को से गुणा करें.
चरण 1.5.3.2.1.3
को से गुणा करें.
चरण 1.5.3.2.1.4
को से गुणा करें.
चरण 1.5.3.2.2
में से घटाएं.
चरण 1.5.4
का मान ज्ञात करें.
चरण 1.5.4.1
मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
चरण 1.5.4.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 1.5.4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.4.2.1.1
को से गुणा करें.
चरण 1.5.4.2.1.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.5.4.2.1.3
को से गुणा करें.
चरण 1.5.4.2.1.4
को से गुणा करें.
चरण 1.5.4.2.2
में से घटाएं.
चरण 1.5.4.2.3
और को पुन: क्रमित करें.
चरण 1.5.5
सारणिक को सरल करें.
चरण 1.5.5.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.5.1.1
प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके का प्रसार करें.
चरण 1.5.5.1.2
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.5.1.2.1
को से गुणा करें.
चरण 1.5.5.1.2.2
को से गुणा करें.
चरण 1.5.5.1.2.3
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 1.5.5.1.2.3.1
ले जाएं.
चरण 1.5.5.1.2.3.2
को से गुणा करें.
चरण 1.5.5.1.2.3.2.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 1.5.5.1.2.3.2.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 1.5.5.1.2.3.3
और जोड़ें.
चरण 1.5.5.1.2.4
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
चरण 1.5.5.1.2.5
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 1.5.5.1.2.5.1
ले जाएं.
चरण 1.5.5.1.2.5.2
को से गुणा करें.
चरण 1.5.5.1.2.6
को से गुणा करें.
चरण 1.5.5.1.2.7
को से गुणा करें.
चरण 1.5.5.1.3
और जोड़ें.
चरण 1.5.5.1.4
और जोड़ें.
चरण 1.5.5.1.5
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.5.5.1.6
को से गुणा करें.
चरण 1.5.5.1.7
को से गुणा करें.
चरण 1.5.5.1.8
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.5.5.1.9
को से गुणा करें.
चरण 1.5.5.1.10
को से गुणा करें.
चरण 1.5.5.2
में से घटाएं.
चरण 1.5.5.3
में से घटाएं.
चरण 1.5.5.4
में से घटाएं.
चरण 1.5.5.5
में से घटाएं.
चरण 1.5.5.6
ले जाएं.
चरण 1.5.5.7
और को पुन: क्रमित करें.
चरण 1.6
आइगेन मान निकालने के लिए विशेषता बहुपद को के बराबर सेट करें.
चरण 1.7
के लिए हल करें.
चरण 1.7.1
समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.
चरण 1.7.1.1
परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड है.
चरण 1.7.1.1.1
यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप होगा, जहां स्थिरांक का एक गुणनखंड है और प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.
चरण 1.7.1.1.2
का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.
चरण 1.7.1.1.3
को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक के बराबर है, इसलिए बहुपद का मूल है.
चरण 1.7.1.1.3.1
को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.
चरण 1.7.1.1.3.2
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 1.7.1.1.3.3
को से गुणा करें.
चरण 1.7.1.1.3.4
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 1.7.1.1.3.5
और जोड़ें.
चरण 1.7.1.1.3.6
को से गुणा करें.
चरण 1.7.1.1.3.7
में से घटाएं.
चरण 1.7.1.1.3.8
और जोड़ें.
चरण 1.7.1.1.4
चूँकि एक ज्ञात मूल है, बहुपद को से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.
चरण 1.7.1.1.5
को से विभाजित करें.
चरण 1.7.1.1.5.1
बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो के मान वाला एक शब्द डालें.
| + | - | + | + | + |
चरण 1.7.1.1.5.2
भाज्य के उच्च क्रम के पद को विभाजक के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.
| - | |||||||||||
| + | - | + | + | + |
चरण 1.7.1.1.5.3
भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.
| - | |||||||||||
| + | - | + | + | + | |||||||
| - | - |
चरण 1.7.1.1.5.4
व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें
| - | |||||||||||
| + | - | + | + | + | |||||||
| + | + |
चरण 1.7.1.1.5.5
संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.
| - | |||||||||||
| + | - | + | + | + | |||||||
| + | + | ||||||||||
| + |
चरण 1.7.1.1.5.6
अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.
| - | |||||||||||
| + | - | + | + | + | |||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + |
चरण 1.7.1.1.5.7
भाज्य के उच्च क्रम के पद को विभाजक के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.
| - | + | ||||||||||
| + | - | + | + | + | |||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + |
चरण 1.7.1.1.5.8
भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.
| - | + | ||||||||||
| + | - | + | + | + | |||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + |
चरण 1.7.1.1.5.9
व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें
| - | + | ||||||||||
| + | - | + | + | + | |||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| - | - |
चरण 1.7.1.1.5.10
संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.
| - | + | ||||||||||
| + | - | + | + | + | |||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
| + |
चरण 1.7.1.1.5.11
अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.
| - | + | ||||||||||
| + | - | + | + | + | |||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
| + | + |
चरण 1.7.1.1.5.12
भाज्य के उच्च क्रम के पद को विभाजक के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.
| - | + | + | |||||||||
| + | - | + | + | + | |||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
| + | + |
चरण 1.7.1.1.5.13
भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.
| - | + | + | |||||||||
| + | - | + | + | + | |||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + |
चरण 1.7.1.1.5.14
व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें
| - | + | + | |||||||||
| + | - | + | + | + | |||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| - | - |
चरण 1.7.1.1.5.15
संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.
| - | + | + | |||||||||
| + | - | + | + | + | |||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
चरण 1.7.1.1.5.16
चूंकि रिमांडर है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.
चरण 1.7.1.1.6
गुणनखंडों के एक सेट के रूप में लिखें.
चरण 1.7.1.2
वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.
चरण 1.7.1.2.1
वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.
चरण 1.7.1.2.1.1
फॉर्म के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल है और जिसका योग है.
चरण 1.7.1.2.1.1.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.7.1.2.1.1.2
को जोड़ के रूप में फिर से लिखें
चरण 1.7.1.2.1.1.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.7.1.2.1.2
प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.
चरण 1.7.1.2.1.2.1
पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.
चरण 1.7.1.2.1.2.2
प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.
चरण 1.7.1.2.1.3
महत्तम समापवर्तक, का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.
चरण 1.7.1.2.2
अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.
चरण 1.7.2
यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक के बराबर होगा.
चरण 1.7.3
को के बराबर सेट करें और के लिए हल करें.
चरण 1.7.3.1
को के बराबर सेट करें.
चरण 1.7.3.2
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं.
चरण 1.7.4
को के बराबर सेट करें और के लिए हल करें.
चरण 1.7.4.1
को के बराबर सेट करें.
चरण 1.7.4.2
समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें.
चरण 1.7.5
अंतिम हल वो सभी मान हैं जो को सिद्ध करते हैं.
चरण 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
चरण 3
चरण 3.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
चरण 3.2
सरल करें.
चरण 3.2.1
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
चरण 3.2.2
Simplify each element.
चरण 3.2.2.1
और जोड़ें.
चरण 3.2.2.2
और जोड़ें.
चरण 3.2.2.3
और जोड़ें.
चरण 3.2.2.4
और जोड़ें.
चरण 3.2.2.5
और जोड़ें.
चरण 3.2.2.6
और जोड़ें.
चरण 3.2.2.7
और जोड़ें.
चरण 3.2.2.8
और जोड़ें.
चरण 3.2.2.9
और जोड़ें.
चरण 3.3
Find the null space when .
चरण 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
चरण 3.3.2
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
चरण 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
चरण 3.3.2.1.2
को सरल करें.
चरण 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
चरण 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
चरण 3.3.2.2.2
को सरल करें.
चरण 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
चरण 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
चरण 3.3.2.3.2
को सरल करें.
चरण 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
चरण 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
चरण 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
चरण 3.3.6
Write as a solution set.
चरण 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
चरण 4
चरण 4.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
चरण 4.2
सरल करें.
चरण 4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 4.2.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से को गुणा करें.
चरण 4.2.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 4.2.1.2.1
को से गुणा करें.
चरण 4.2.1.2.2
को से गुणा करें.
चरण 4.2.1.2.3
को से गुणा करें.
चरण 4.2.1.2.4
को से गुणा करें.
चरण 4.2.1.2.5
को से गुणा करें.
चरण 4.2.1.2.6
को से गुणा करें.
चरण 4.2.1.2.7
को से गुणा करें.
चरण 4.2.1.2.8
को से गुणा करें.
चरण 4.2.1.2.9
को से गुणा करें.
चरण 4.2.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
चरण 4.2.3
Simplify each element.
चरण 4.2.3.1
में से घटाएं.
चरण 4.2.3.2
और जोड़ें.
चरण 4.2.3.3
और जोड़ें.
चरण 4.2.3.4
और जोड़ें.
चरण 4.2.3.5
में से घटाएं.
चरण 4.2.3.6
और जोड़ें.
चरण 4.2.3.7
और जोड़ें.
चरण 4.2.3.8
और जोड़ें.
चरण 4.2.3.9
में से घटाएं.
चरण 4.3
Find the null space when .
चरण 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
चरण 4.3.2
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
चरण 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
चरण 4.3.2.1.2
को सरल करें.
चरण 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
चरण 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
चरण 4.3.2.2.2
को सरल करें.
चरण 4.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
चरण 4.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
चरण 4.3.2.3.2
को सरल करें.
चरण 4.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
चरण 4.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
चरण 4.3.2.4.2
को सरल करें.
चरण 4.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
चरण 4.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
चरण 4.3.2.5.2
को सरल करें.
चरण 4.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
चरण 4.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
चरण 4.3.2.6.2
को सरल करें.
चरण 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
चरण 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
चरण 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
चरण 4.3.6
Write as a solution set.
चरण 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
चरण 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.