लीनियर एलजेब्रा उदाहरण
[221100021]⎡⎢⎣221100021⎤⎥⎦
चरण 1
अभिलक्षणिक समीकरण p(λ)p(λ) ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.
p(λ)=सारणिक(A-λI3)
चरण 2
सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स 3 3×3 वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.
[100010001]
चरण 3
चरण 3.1
[221100021] को A से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]-λI3)
चरण 3.2
[100010001] को I3 से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]-λ[100010001])
p(λ)=सारणिक([221100021]-λ[100010001])
चरण 4
चरण 4.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 4.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -λ को गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 4.1.2.1
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.2
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.2.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.2.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.3
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.3.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.3.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.4
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.4.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.4.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.5
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.6
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.6.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.6.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.7
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.7.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.7.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.8
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.8.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
चरण 4.1.2.8.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
चरण 4.1.2.9
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=सारणिक([221100021]+[-λ000-λ000-λ])
चरण 4.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[2-λ2+01+01+00-λ0+00+02+01-λ]
चरण 4.3
Simplify each element.
चरण 4.3.1
2 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[2-λ21+01+00-λ0+00+02+01-λ]
चरण 4.3.2
1 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[2-λ211+00-λ0+00+02+01-λ]
चरण 4.3.3
1 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[2-λ2110-λ0+00+02+01-λ]
चरण 4.3.4
0 में से λ घटाएं.
p(λ)=सारणिक[2-λ211-λ0+00+02+01-λ]
चरण 4.3.5
0 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[2-λ211-λ00+02+01-λ]
चरण 4.3.6
0 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[2-λ211-λ002+01-λ]
चरण 4.3.7
2 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[2-λ211-λ0021-λ]
p(λ)=सारणिक[2-λ211-λ0021-λ]
p(λ)=सारणिक[2-λ211-λ0021-λ]
चरण 5
चरण 5.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in column 1 by its cofactor and add.
चरण 5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
चरण 5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
चरण 5.1.3
The minor for a11 is the determinant with row 1 and column 1 deleted.
|-λ021-λ|
चरण 5.1.4
Multiply element a11 by its cofactor.
(2-λ)|-λ021-λ|
चरण 5.1.5
The minor for a21 is the determinant with row 2 and column 1 deleted.
|2121-λ|
चरण 5.1.6
Multiply element a21 by its cofactor.
-1|2121-λ|
चरण 5.1.7
The minor for a31 is the determinant with row 3 and column 1 deleted.
|21-λ0|
चरण 5.1.8
Multiply element a31 by its cofactor.
0|21-λ0|
चरण 5.1.9
Add the terms together.
p(λ)=(2-λ)|-λ021-λ|-1|2121-λ|+0|21-λ0|
p(λ)=(2-λ)|-λ021-λ|-1|2121-λ|+0|21-λ0|
चरण 5.2
0 को |21-λ0| से गुणा करें.
p(λ)=(2-λ)|-λ021-λ|-1|2121-λ|+0
चरण 5.3
|-λ021-λ| का मान ज्ञात करें.
चरण 5.3.1
2×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
p(λ)=(2-λ)(-λ(1-λ)-2⋅0)-1|2121-λ|+0
चरण 5.3.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 5.3.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.3.2.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=(2-λ)(-λ⋅1-λ(-λ)-2⋅0)-1|2121-λ|+0
चरण 5.3.2.1.2
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=(2-λ)(-λ-λ(-λ)-2⋅0)-1|2121-λ|+0
चरण 5.3.2.1.3
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=(2-λ)(-λ-1⋅-1λ⋅λ-2⋅0)-1|2121-λ|+0
चरण 5.3.2.1.4
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.3.2.1.4.1
घातांक जोड़कर λ को λ से गुणा करें.
चरण 5.3.2.1.4.1.1
λ ले जाएं.
p(λ)=(2-λ)(-λ-1⋅-1(λ⋅λ)-2⋅0)-1|2121-λ|+0
चरण 5.3.2.1.4.1.2
λ को λ से गुणा करें.
p(λ)=(2-λ)(-λ-1⋅-1λ2-2⋅0)-1|2121-λ|+0
p(λ)=(2-λ)(-λ-1⋅-1λ2-2⋅0)-1|2121-λ|+0
चरण 5.3.2.1.4.2
-1 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=(2-λ)(-λ+1λ2-2⋅0)-1|2121-λ|+0
चरण 5.3.2.1.4.3
λ2 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=(2-λ)(-λ+λ2-2⋅0)-1|2121-λ|+0
p(λ)=(2-λ)(-λ+λ2-2⋅0)-1|2121-λ|+0
चरण 5.3.2.1.5
-2 को 0 से गुणा करें.
p(λ)=(2-λ)(-λ+λ2+0)-1|2121-λ|+0
p(λ)=(2-λ)(-λ+λ2+0)-1|2121-λ|+0
चरण 5.3.2.2
-λ+λ2 और 0 जोड़ें.
p(λ)=(2-λ)(-λ+λ2)-1|2121-λ|+0
चरण 5.3.2.3
-λ और λ2 को पुन: क्रमित करें.
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1|2121-λ|+0
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1|2121-λ|+0
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1|2121-λ|+0
चरण 5.4
|2121-λ| का मान ज्ञात करें.
चरण 5.4.1
2×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1(2(1-λ)-2⋅1)+0
चरण 5.4.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 5.4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.4.2.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1(2⋅1+2(-λ)-2⋅1)+0
चरण 5.4.2.1.2
2 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1(2+2(-λ)-2⋅1)+0
चरण 5.4.2.1.3
-1 को 2 से गुणा करें.
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1(2-2λ-2⋅1)+0
चरण 5.4.2.1.4
-2 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1(2-2λ-2)+0
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1(2-2λ-2)+0
चरण 5.4.2.2
2-2λ-2 में विपरीत पदों को मिलाएं.
चरण 5.4.2.2.1
2 में से 2 घटाएं.
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1(-2λ+0)+0
चरण 5.4.2.2.2
-2λ और 0 जोड़ें.
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1(-2λ)+0
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1(-2λ)+0
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1(-2λ)+0
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1(-2λ)+0
चरण 5.5
सारणिक को सरल करें.
चरण 5.5.1
(2-λ)(λ2-λ)-1(-2λ) और 0 जोड़ें.
p(λ)=(2-λ)(λ2-λ)-1(-2λ)
चरण 5.5.2
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.5.2.1
FOIL विधि का उपयोग करके (2-λ)(λ2-λ) का प्रसार करें.
चरण 5.5.2.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=2(λ2-λ)-λ(λ2-λ)-1(-2λ)
चरण 5.5.2.1.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=2λ2+2(-λ)-λ(λ2-λ)-1(-2λ)
चरण 5.5.2.1.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=2λ2+2(-λ)-λ⋅λ2-λ(-λ)-1(-2λ)
p(λ)=2λ2+2(-λ)-λ⋅λ2-λ(-λ)-1(-2λ)
चरण 5.5.2.2
समान पदों को सरल और संयोजित करें.
चरण 5.5.2.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.5.2.2.1.1
-1 को 2 से गुणा करें.
p(λ)=2λ2-2λ-λ⋅λ2-λ(-λ)-1(-2λ)
चरण 5.5.2.2.1.2
घातांक जोड़कर λ को λ2 से गुणा करें.
चरण 5.5.2.2.1.2.1
λ2 ले जाएं.
p(λ)=2λ2-2λ-(λ2λ)-λ(-λ)-1(-2λ)
चरण 5.5.2.2.1.2.2
λ2 को λ से गुणा करें.
चरण 5.5.2.2.1.2.2.1
λ को 1 के घात तक बढ़ाएं.
p(λ)=2λ2-2λ-(λ2λ1)-λ(-λ)-1(-2λ)
चरण 5.5.2.2.1.2.2.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम aman=am+n का उपयोग करें.
p(λ)=2λ2-2λ-λ2+1-λ(-λ)-1(-2λ)
p(λ)=2λ2-2λ-λ2+1-λ(-λ)-1(-2λ)
चरण 5.5.2.2.1.2.3
2 और 1 जोड़ें.
p(λ)=2λ2-2λ-λ3-λ(-λ)-1(-2λ)
p(λ)=2λ2-2λ-λ3-λ(-λ)-1(-2λ)
चरण 5.5.2.2.1.3
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=2λ2-2λ-λ3-1⋅-1λ⋅λ-1(-2λ)
चरण 5.5.2.2.1.4
घातांक जोड़कर λ को λ से गुणा करें.
चरण 5.5.2.2.1.4.1
λ ले जाएं.
p(λ)=2λ2-2λ-λ3-1⋅-1(λ⋅λ)-1(-2λ)
चरण 5.5.2.2.1.4.2
λ को λ से गुणा करें.
p(λ)=2λ2-2λ-λ3-1⋅-1λ2-1(-2λ)
p(λ)=2λ2-2λ-λ3-1⋅-1λ2-1(-2λ)
चरण 5.5.2.2.1.5
-1 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=2λ2-2λ-λ3+1λ2-1(-2λ)
चरण 5.5.2.2.1.6
λ2 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=2λ2-2λ-λ3+λ2-1(-2λ)
p(λ)=2λ2-2λ-λ3+λ2-1(-2λ)
चरण 5.5.2.2.2
2λ2 और λ2 जोड़ें.
p(λ)=3λ2-2λ-λ3-1(-2λ)
p(λ)=3λ2-2λ-λ3-1(-2λ)
चरण 5.5.2.3
-2 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=3λ2-2λ-λ3+2λ
p(λ)=3λ2-2λ-λ3+2λ
चरण 5.5.3
3λ2-2λ-λ3+2λ में विपरीत पदों को मिलाएं.
चरण 5.5.3.1
-2λ और 2λ जोड़ें.
p(λ)=3λ2-λ3+0
चरण 5.5.3.2
3λ2-λ3 और 0 जोड़ें.
p(λ)=3λ2-λ3
p(λ)=3λ2-λ3
चरण 5.5.4
3λ2 और -λ3 को पुन: क्रमित करें.
p(λ)=-λ3+3λ2
p(λ)=-λ3+3λ2
p(λ)=-λ3+3λ2
चरण 6
आइगेन मान λ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को 0 के बराबर सेट करें.
-λ3+3λ2=0
चरण 7
चरण 7.1
-λ3+3λ2 में से -λ2 का गुणनखंड करें.
चरण 7.1.1
-λ3 में से -λ2 का गुणनखंड करें.
-λ2λ+3λ2=0
चरण 7.1.2
3λ2 में से -λ2 का गुणनखंड करें.
-λ2λ-λ2⋅-3=0
चरण 7.1.3
-λ2(λ)-λ2(-3) में से -λ2 का गुणनखंड करें.
-λ2(λ-3)=0
-λ2(λ-3)=0
चरण 7.2
यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड 0 के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक 0 के बराबर होगा.
λ2=0
λ-3=0
चरण 7.3
λ2 को 0 के बराबर सेट करें और λ के लिए हल करें.
चरण 7.3.1
λ2 को 0 के बराबर सेट करें.
λ2=0
चरण 7.3.2
λ के लिए λ2=0 हल करें.
चरण 7.3.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
λ=±√0
चरण 7.3.2.2
±√0 को सरल करें.
चरण 7.3.2.2.1
0 को 02 के रूप में फिर से लिखें.
λ=±√02
चरण 7.3.2.2.2
धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.
λ=±0
चरण 7.3.2.2.3
जोड़ या घटाव 0, 0 है.
λ=0
λ=0
λ=0
λ=0
चरण 7.4
λ-3 को 0 के बराबर सेट करें और λ के लिए हल करें.
चरण 7.4.1
λ-3 को 0 के बराबर सेट करें.
λ-3=0
चरण 7.4.2
समीकरण के दोनों पक्षों में 3 जोड़ें.
λ=3
λ=3
चरण 7.5
अंतिम हल वो सभी मान हैं जो -λ2(λ-3)=0 को सिद्ध करते हैं.
λ=0,3
λ=0,3
