लीनियर एलजेब्रा उदाहरण
[987345210]⎡⎢⎣987345210⎤⎥⎦
चरण 1
अभिलक्षणिक समीकरण p(λ) ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.
p(λ)=सारणिक(A-λI3)
चरण 2
सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स 3 3×3 वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.
[100010001]
चरण 3
चरण 3.1
[987345210] को A से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]-λI3)
चरण 3.2
[100010001] को I3 से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]-λ[100010001])
p(λ)=सारणिक([987345210]-λ[100010001])
चरण 4
चरण 4.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 4.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -λ को गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 4.1.2.1
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.2
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.2.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.2.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.3
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.3.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.3.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.4
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.4.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.4.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.5
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.6
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.6.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.6.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.7
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.7.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.7.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.8
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.8.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
चरण 4.1.2.8.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
चरण 4.1.2.9
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=सारणिक([987345210]+[-λ000-λ000-λ])
चरण 4.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[9-λ8+07+03+04-λ5+02+01+00-λ]
चरण 4.3
Simplify each element.
चरण 4.3.1
8 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[9-λ87+03+04-λ5+02+01+00-λ]
चरण 4.3.2
7 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[9-λ873+04-λ5+02+01+00-λ]
चरण 4.3.3
3 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[9-λ8734-λ5+02+01+00-λ]
चरण 4.3.4
5 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[9-λ8734-λ52+01+00-λ]
चरण 4.3.5
2 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[9-λ8734-λ521+00-λ]
चरण 4.3.6
1 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[9-λ8734-λ5210-λ]
चरण 4.3.7
0 में से λ घटाएं.
p(λ)=सारणिक[9-λ8734-λ521-λ]
p(λ)=सारणिक[9-λ8734-λ521-λ]
p(λ)=सारणिक[9-λ8734-λ521-λ]
चरण 5
चरण 5.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in row 1 by its cofactor and add.
चरण 5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
चरण 5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
चरण 5.1.3
The minor for a11 is the determinant with row 1 and column 1 deleted.
|4-λ51-λ|
चरण 5.1.4
Multiply element a11 by its cofactor.
(9-λ)|4-λ51-λ|
चरण 5.1.5
The minor for a12 is the determinant with row 1 and column 2 deleted.
|352-λ|
चरण 5.1.6
Multiply element a12 by its cofactor.
-8|352-λ|
चरण 5.1.7
The minor for a13 is the determinant with row 1 and column 3 deleted.
|34-λ21|
चरण 5.1.8
Multiply element a13 by its cofactor.
7|34-λ21|
चरण 5.1.9
Add the terms together.
p(λ)=(9-λ)|4-λ51-λ|-8|352-λ|+7|34-λ21|
p(λ)=(9-λ)|4-λ51-λ|-8|352-λ|+7|34-λ21|
चरण 5.2
|4-λ51-λ| का मान ज्ञात करें.
चरण 5.2.1
2×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
p(λ)=(9-λ)((4-λ)(-λ)-1⋅5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
चरण 5.2.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 5.2.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.2.2.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=(9-λ)(4(-λ)-λ(-λ)-1⋅5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
चरण 5.2.2.1.2
-1 को 4 से गुणा करें.
p(λ)=(9-λ)(-4λ-λ(-λ)-1⋅5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
चरण 5.2.2.1.3
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=(9-λ)(-4λ-1⋅-1λ⋅λ-1⋅5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
चरण 5.2.2.1.4
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.2.2.1.4.1
घातांक जोड़कर λ को λ से गुणा करें.
चरण 5.2.2.1.4.1.1
λ ले जाएं.
p(λ)=(9-λ)(-4λ-1⋅-1(λ⋅λ)-1⋅5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
चरण 5.2.2.1.4.1.2
λ को λ से गुणा करें.
p(λ)=(9-λ)(-4λ-1⋅-1λ2-1⋅5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
p(λ)=(9-λ)(-4λ-1⋅-1λ2-1⋅5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
चरण 5.2.2.1.4.2
-1 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=(9-λ)(-4λ+1λ2-1⋅5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
चरण 5.2.2.1.4.3
λ2 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=(9-λ)(-4λ+λ2-1⋅5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
p(λ)=(9-λ)(-4λ+λ2-1⋅5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
चरण 5.2.2.1.5
-1 को 5 से गुणा करें.
p(λ)=(9-λ)(-4λ+λ2-5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
p(λ)=(9-λ)(-4λ+λ2-5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
चरण 5.2.2.2
-4λ और λ2 को पुन: क्रमित करें.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8|352-λ|+7|34-λ21|
चरण 5.3
|352-λ| का मान ज्ञात करें.
चरण 5.3.1
2×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(3(-λ)-2⋅5)+7|34-λ21|
चरण 5.3.2
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.3.2.1
-1 को 3 से गुणा करें.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(-3λ-2⋅5)+7|34-λ21|
चरण 5.3.2.2
-2 को 5 से गुणा करें.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(-3λ-10)+7|34-λ21|
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(-3λ-10)+7|34-λ21|
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(-3λ-10)+7|34-λ21|
चरण 5.4
|34-λ21| का मान ज्ञात करें.
चरण 5.4.1
2×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(-3λ-10)+7(3⋅1-2(4-λ))
चरण 5.4.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 5.4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.4.2.1.1
3 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(-3λ-10)+7(3-2(4-λ))
चरण 5.4.2.1.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(-3λ-10)+7(3-2⋅4-2(-λ))
चरण 5.4.2.1.3
-2 को 4 से गुणा करें.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(-3λ-10)+7(3-8-2(-λ))
चरण 5.4.2.1.4
-1 को -2 से गुणा करें.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(-3λ-10)+7(3-8+2λ)
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(-3λ-10)+7(3-8+2λ)
चरण 5.4.2.2
3 में से 8 घटाएं.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(-3λ-10)+7(-5+2λ)
चरण 5.4.2.3
-5 और 2λ को पुन: क्रमित करें.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ-5)-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5
सारणिक को सरल करें.
चरण 5.5.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.5.1.1
प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके (9-λ)(λ2-4λ-5) का प्रसार करें.
p(λ)=9λ2+9(-4λ)+9⋅-5-λ⋅λ2-λ(-4λ)-λ⋅-5-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.2
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.5.1.2.1
-4 को 9 से गुणा करें.
p(λ)=9λ2-36λ+9⋅-5-λ⋅λ2-λ(-4λ)-λ⋅-5-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.2.2
9 को -5 से गुणा करें.
p(λ)=9λ2-36λ-45-λ⋅λ2-λ(-4λ)-λ⋅-5-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.2.3
घातांक जोड़कर λ को λ2 से गुणा करें.
चरण 5.5.1.2.3.1
λ2 ले जाएं.
p(λ)=9λ2-36λ-45-(λ2λ)-λ(-4λ)-λ⋅-5-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.2.3.2
λ2 को λ से गुणा करें.
चरण 5.5.1.2.3.2.1
λ को 1 के घात तक बढ़ाएं.
p(λ)=9λ2-36λ-45-(λ2λ1)-λ(-4λ)-λ⋅-5-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.2.3.2.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम aman=am+n का उपयोग करें.
p(λ)=9λ2-36λ-45-λ2+1-λ(-4λ)-λ⋅-5-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
p(λ)=9λ2-36λ-45-λ2+1-λ(-4λ)-λ⋅-5-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.2.3.3
2 और 1 जोड़ें.
p(λ)=9λ2-36λ-45-λ3-λ(-4λ)-λ⋅-5-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
p(λ)=9λ2-36λ-45-λ3-λ(-4λ)-λ⋅-5-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.2.4
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=9λ2-36λ-45-λ3-1⋅-4λ⋅λ-λ⋅-5-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.2.5
घातांक जोड़कर λ को λ से गुणा करें.
चरण 5.5.1.2.5.1
λ ले जाएं.
p(λ)=9λ2-36λ-45-λ3-1⋅-4(λ⋅λ)-λ⋅-5-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.2.5.2
λ को λ से गुणा करें.
p(λ)=9λ2-36λ-45-λ3-1⋅-4λ2-λ⋅-5-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
p(λ)=9λ2-36λ-45-λ3-1⋅-4λ2-λ⋅-5-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.2.6
-1 को -4 से गुणा करें.
p(λ)=9λ2-36λ-45-λ3+4λ2-λ⋅-5-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.2.7
-5 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=9λ2-36λ-45-λ3+4λ2+5λ-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
p(λ)=9λ2-36λ-45-λ3+4λ2+5λ-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.3
9λ2 और 4λ2 जोड़ें.
p(λ)=13λ2-36λ-45-λ3+5λ-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.4
-36λ और 5λ जोड़ें.
p(λ)=13λ2-31λ-45-λ3-8(-3λ-10)+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.5
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=13λ2-31λ-45-λ3-8(-3λ)-8⋅-10+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.6
-3 को -8 से गुणा करें.
p(λ)=13λ2-31λ-45-λ3+24λ-8⋅-10+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.7
-8 को -10 से गुणा करें.
p(λ)=13λ2-31λ-45-λ3+24λ+80+7(2λ-5)
चरण 5.5.1.8
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=13λ2-31λ-45-λ3+24λ+80+7(2λ)+7⋅-5
चरण 5.5.1.9
2 को 7 से गुणा करें.
p(λ)=13λ2-31λ-45-λ3+24λ+80+14λ+7⋅-5
चरण 5.5.1.10
7 को -5 से गुणा करें.
p(λ)=13λ2-31λ-45-λ3+24λ+80+14λ-35
p(λ)=13λ2-31λ-45-λ3+24λ+80+14λ-35
चरण 5.5.2
-31λ और 24λ जोड़ें.
p(λ)=13λ2-7λ-45-λ3+80+14λ-35
चरण 5.5.3
-7λ और 14λ जोड़ें.
p(λ)=13λ2+7λ-45-λ3+80-35
चरण 5.5.4
-45 और 80 जोड़ें.
p(λ)=13λ2+7λ-λ3+35-35
चरण 5.5.5
13λ2+7λ-λ3+35-35 में विपरीत पदों को मिलाएं.
चरण 5.5.5.1
35 में से 35 घटाएं.
p(λ)=13λ2+7λ-λ3+0
चरण 5.5.5.2
13λ2+7λ-λ3 और 0 जोड़ें.
p(λ)=13λ2+7λ-λ3
p(λ)=13λ2+7λ-λ3
चरण 5.5.6
7λ ले जाएं.
p(λ)=13λ2-λ3+7λ
चरण 5.5.7
13λ2 और -λ3 को पुन: क्रमित करें.
p(λ)=-λ3+13λ2+7λ
p(λ)=-λ3+13λ2+7λ
p(λ)=-λ3+13λ2+7λ
