कैलकुलस उदाहरण

$\int \sqrt{9 - x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए

$x = 3 \sin (t)$ , जहां

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर

$d x = 3 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से,

$3 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

उत्पाद नियम को

$3 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.2

$3$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.3

$9$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.2

$9$ में से

$9$ का गुणनखंड करें.

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.3

$- 9 \sin^{2} (t)$ में से

$9$ का गुणनखंड करें.

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.4

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ में से

$9$ का गुणनखंड करें.

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ को

${(3 \cos (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$3$ को

$3$ से गुणा करें.

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

चरण 2.2.2

$\cos (t)$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

चरण 2.2.3

$\cos (t)$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

चरण 2.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

चरण 2.2.5

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

चरण 3

चूँकि

$9$ बटे

$t$ अचर है,

$9$ को समाकलन से हटा दें.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

चरण 4

$\cos^{2} (t)$ को

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 5

चूँकि

$\frac{1}{2}$ बटे

$t$ अचर है,

$\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

चरण 6

$\frac{1}{2}$ और

$9$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

चरण 9

मान लीजिए

$u = 2 t$ .फिर

$d u = 2 d t$ , तो

$\frac{1}{2} d u = d t$ .

$u$ और

$d$

$u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें

$u = 2 t$ .

$\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 9.1.2

चूंकि

$2$ ,

$t$ के संबंध में स्थिर है,

$t$ के संबंध में

$2 t$ का व्युत्पन्न

$2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 9.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$

$n t^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 9.1.4

$2$ को

$1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 9.2

$u$ और

$d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 10

$\cos (u)$ और

$\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 11

चूँकि

$\frac{1}{2}$ बटे

$u$ अचर है,

$\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

चरण 12

$u$ के संबंध में

$\cos (u)$ का इंटीग्रल

$\sin (u)$ है.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

चरण 13

सरल करें.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 14

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$t$ की सभी घटनाओं को

$\arcsin (\frac{x}{3})$ से बदलें.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 14.2

$u$ की सभी घटनाओं को

$2 t$ से बदलें.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

चरण 14.3

$t$ की सभी घटनाओं को

$\arcsin (\frac{x}{3})$ से बदलें.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{1}{2}$ और

$\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

चरण 15.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

चरण 15.3

$\frac{9}{2}$ और

$\arcsin (\frac{x}{3})$ को मिलाएं.

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

चरण 15.4

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.1

$\frac{9}{2}$ को

$\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

चरण 15.4.2

$2$ को

$2$ से गुणा करें.

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

चरण 16

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

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