कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

चरण 1

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या शृंखला अभिसारी है, यह निर्धारित करें कि क्या अनुक्रम का इंटिग्रल अभिसरण है.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2

$t$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

चरण 3

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

चरण 4

$x$ के संबंध में $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\arctan (x)]_{1}^{t}$ है.

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

चरण 5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$t$ पर और $1$ पर $\arctan (x)$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

चरण 5.2

कोष्ठक हटा दें.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

चरण 6

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

चरण 6.2

$t$ जब $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, लिमिट का मान $\frac{π}{2}$ होता है.

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

चरण 6.3

$\arctan (1)$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

चरण 6.4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$\arctan (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{4}$ है.

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

चरण 6.4.2

$\frac{π}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

चरण 6.4.3

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

चरण 6.4.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

चरण 6.4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

चरण 6.4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.5.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

चरण 6.4.5.2

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{π}{4}$

चरण 7

चूँकि इंटीग्रल अभिसारी है, श्रंखला अभिसारी है.

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