कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n}$

चरण 1

एक अनंत श्रेणी $\sum_{}^{} a_{n}$ के लिए, कौशी के रूट टेस्ट का उपयोग करके अभिसरण निर्धारित करने के लिए लिमिट $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ ज्ञात करें.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

चरण 2

$a_{n}$ के लिए प्रतिस्थापित करें.

$L = lim_{n \to \infty} {| \frac{{(- 2)}^{n}}{n} |}^{\frac{1}{n}}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घातांक को निरपेक्ष मान में बदलें.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} |$

चरण 3.2

उत्पाद नियम को $\frac{{(- 2)}^{n}}{n}$ पर लागू करें.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

चरण 3.3

घातांक को ${({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

चरण 3.3.2

$n$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

चरण 3.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

चरण 3.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

चरण 4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

लिमिट को निरपेक्ष मान चिह्नों के अंदर ले जाएँ.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

चरण 4.1.2

$- 2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $n$ के संबंध में स्थिर है.

$L = | - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} |$

चरण 4.1.3

जैसे ही $n$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$L = | - 2 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

चरण 4.1.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $n$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

चरण 4.2

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$n^{\frac{1}{n}}$ को $e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}} |$

चरण 4.2.2

$\frac{1}{n}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (n^{\frac{1}{n}})$ का प्रसार करें.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

चरण 4.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}} |$

चरण 4.3.2

$\frac{1}{n}$ और $\ln (n)$ को मिलाएं.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

चरण 4.4

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

चरण 4.4.1.2

जैसे ही लघुगणक अनंत की ओर एप्रोच करता है, मान $\infty$ हो जाता है.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

चरण 4.4.1.3

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

चरण 4.4.2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

चरण 4.4.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

चरण 4.4.3.2

$n$ के संबंध में $\ln (n)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{n}$ है.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

चरण 4.4.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ $n \cdot n^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

चरण 4.4.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}} |$

चरण 4.4.5

$\frac{1}{n}$ को $1$ से गुणा करें.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

चरण 4.5

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{n}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{0}} |$

चरण 4.6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

चरण 4.6.2

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

चरण 4.6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$L = | - 2 \cdot 1 |$

चरण 4.6.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$L = | - 2 |$

चरण 4.6.4

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $- 2$ और $0$ के बीच की दूरी $2$ है.

$L = 2$

चरण 5

यदि $L < 1$ , श्रेणी पूर्णतया अभिसारी है. यदि $L > 1$ , श्रेणी अपसारी है. यदि $L = 1$ , टेस्ट अनिर्णायक है. इस स्थिति में, $L > 1$ होगी.

श्रेणी $[0, \infty)$ पर अपसारी है

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