कैलकुलस उदाहरण

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

चरण 1

$y = {(x + 3)}^{2}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

चरण 2

जांचें कि क्या दिया गया बिंदु दिए गए फलन के ग्राफ पर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$ का मूल्यांकन $x = 1$ पर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

चरण 2.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$1$ और $3$ जोड़ें.

$f (1) = 4^{2}$

चरण 2.1.2.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (1) = 16$

चरण 2.1.2.3

अंतिम उत्तर $16$ है.

$16$

चरण 2.2

चूंकि $16 = 16$ , बिंदु ग्राफ पर है.

बिंदु ग्राफ पर है

चरण 3

स्पर्शरेखा रेखा का ढाल व्यंजक का व्युत्पन्न है.

$m$ $=$ , $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ का व्युत्पन्न

चरण 4

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 5

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

चरण 5.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

${(x + h + 3)}^{2}$ को $(x + h + 3) (x + h + 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

चरण 5.1.2.2

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(x + h + 3) (x + h + 3)$ का प्रसार करें.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

चरण 5.1.2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.3.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

चरण 5.1.2.3.2

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

चरण 5.1.2.3.3

$h$ को $h$ से गुणा करें.

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

चरण 5.1.2.3.4

$3$ को $h$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

चरण 5.1.2.3.5

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

चरण 5.1.2.4

$x h$ और $h x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.4.1

$x$ और $h$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

चरण 5.1.2.4.2

$h x$ और $h x$ जोड़ें.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

चरण 5.1.2.5

$3 x$ और $3 x$ जोड़ें.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

चरण 5.1.2.6

$3 h$ और $3 h$ जोड़ें.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

चरण 5.1.2.7

अंतिम उत्तर $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ है.

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

चरण 5.2

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

चरण 5.2.2

$2 h x$ और $h^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

चरण 5.3

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

चरण 6

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

चरण 7.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.1

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

चरण 7.1.2.2

$- 1$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

चरण 7.1.3

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

चरण 7.1.4

$h^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

चरण 7.1.5

$6 x$ में से $6 x$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

चरण 7.1.6

$h^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

चरण 7.1.7

$9$ में से $9$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

चरण 7.1.8

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

चरण 7.1.9

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.9.1

$h^{2}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

चरण 7.1.9.2

$2 h x$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

चरण 7.1.9.3

$6 h$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

चरण 7.1.9.4

$h (h) + h (2 x)$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

चरण 7.1.9.5

$h (h + 2 x) + h \cdot 6$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

चरण 7.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

चरण 7.2.1.2

$h + 2 x + 6$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

चरण 7.2.2

$h$ और $2 x$ को पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

चरण 8

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

चरण 8.2

$2 x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

चरण 8.3

$6$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

चरण 9

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$2 x + 0 + 6$

चरण 10

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x + 6$

चरण 11

$2 (1) + 6$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$m = 2 + 6$

चरण 11.2

$2$ और $6$ जोड़ें.

$m = 8$

चरण 12

ढलान $m = 8$ है और बिंदु $(1, 16)$ है.

$m = 8, (1, 16)$

चरण 13

एक रेखा के समीकरण सूत्र का उपयोग करके $b$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$b$ पता करने के लिए एक रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग करें.

$y = m x + b$

चरण 13.2

समीकरण में $m$ के मान को प्रतिस्थापित करें.

$y = (8) \cdot x + b$

चरण 13.3

समीकरण में $x$ के मान को प्रतिस्थापित करें.

$y = (8) \cdot (1) + b$

चरण 13.4

समीकरण में $y$ के मान को प्रतिस्थापित करें.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

चरण 13.5

$b$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

समीकरण को $(8) \cdot (1) + b = 16$ के रूप में फिर से लिखें.

$(8) \cdot (1) + b = 16$

चरण 13.5.2

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$8 + b = 16$

चरण 13.5.3

$b$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$b = 16 - 8$

चरण 13.5.3.2

$16$ में से $8$ घटाएं.

$b = 8$

चरण 14

अब जबकि $m$ (ढलान) और $b$ (y- अंत:खंड) के मान ज्ञात हो गए हैं, रेखा के समीकरण को ज्ञात करने के लिए उन्हें $y = m x + b$ में प्रतिस्थापित करें.

$y = 8 x + 8$

चरण 15

अपनी समस्या दर्ज करें