कैलकुलस उदाहरण

\frac{d y}{d x} + y = e^{x}

$\frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को

e^{\int P (x) d x}

$e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां

P (x) = 1

$P (x) = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

e^{\int d x}

$e^{\int d x}$

चरण 1.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

e^{x + C}

$e^{x + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

e^{x}

$e^{x}$

e^{x}

$e^{x}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड

e^{x}

$e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को

e^{x}

$e^{x}$ से गुणा करें.

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x}$

चरण 2.2

घातांक जोड़कर

e^{x}

$e^{x}$ को

e^{x}

$e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x}$

चरण 2.2.2

x

$x$ और

x

$x$ जोड़ें.

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$

चरण 2.3

गुणनखंडों को

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$ में पुन: क्रमित करें.

e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}$

e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{2 x} d x

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{2 x} d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

e^{x} y = \int e^{2 x} d x

$e^{x} y = \int e^{2 x} d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लीजिए

u = 2 x

$u = 2 x$ .फिर

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ , तो

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ .

u

$u$ और

d

$d$

u

$u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

मान लें

u = 2 x

$u = 2 x$ .

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

2 x

$2 x$ को अवकलित करें.

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 6.1.1.2

चूंकि

2

$2$ ,

x

$x$ के संबंध में स्थिर है,

x

$x$ के संबंध में

2 x

$2 x$ का व्युत्पन्न

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

n = 1

$n = 1$ है.

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

चरण 6.1.1.4

2

$2$ को

1

$1$ से गुणा करें.

2

$2$

2

$2$

चरण 6.1.2

u

$u$ और

d u

$d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 6.2

e^{u}

$e^{u}$ और

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u

$e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 6.3

चूँकि

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ बटे

u

$u$ अचर है,

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

e^{x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u

$e^{x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

चरण 6.4

u

$u$ के संबंध में

e^{u}

$e^{u}$ का इंटीग्रल

e^{u}

$e^{u}$ है.

e^{x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)

$e^{x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

चरण 6.5

सरल करें.

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

चरण 6.6

u

$u$ की सभी घटनाओं को

2 x

$2 x$ से बदलें.

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

चरण 7

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ के प्रत्येक पद को

e^{x}

$e^{x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ के प्रत्येक पद को

e^{x}

$e^{x}$ से विभाजित करें.

\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

e^{x}

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.1.2

y

$y$ को

1

$1$ से विभाजित करें.

y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

e^{2 x}

$e^{2 x}$ और

e^{x}

$e^{x}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.1

\frac{1}{2} e^{2 x}

$\frac{1}{2} e^{2 x}$ में से

e^{x}

$e^{x}$ का गुणनखंड करें.

y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.2.1

1

$1$ से गुणा करें.

y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

y = \frac{\frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.3.1.1.2.4

\frac{1}{2} e^{x}

$\frac{1}{2} e^{x}$ को

1

$1$ से विभाजित करें.

y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.3.1.2

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ और

e^{x}

$e^{x}$ को मिलाएं.

y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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