कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करने के लिए, मान लें कि $v = y^{1 - n}$ जहां $n$ , $y^{2}$ का घातांक है.

$v = y^{- 1}$

चरण 2

$y$ के लिए समीकरण को हल करें.

$y = v^{- 1}$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न लें.

$y' = v^{- 1}$

चरण 4

$x$ के संबंध में $v^{- 1}$ का व्युत्पन्न लें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$v^{- 1}$ का व्युत्पन्न लें.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

चरण 4.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

चरण 4.3

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1$ और $g (x) = v$ है.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.3.1

$v$ को $0$ से गुणा करें.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.3.2

$0$ में से $\frac{d}{d x} [v]$ घटाएं.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.5

$\frac{d}{d x} [v]$ को $v'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

चरण 5

मूल समीकरण $\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$ में $- \frac{v'}{v^{2}}$ को $\frac{d y}{d x}$ से और $v^{- 1}$ को $y$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

चरण 6

प्रतिस्थापित डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भिन्नों को हटाने के लिए $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ के प्रत्येक पद को $- v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ के प्रत्येक पद को $- v^{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1.1

$v^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.1.2

$- v^{2}$ में से $v^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.5

घातांक जोड़कर $v^{- 1}$ को $v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1.5.1

$v^{2}$ ले जाएं.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.5.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.5.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.6

$- 1 \cdot - 1 v^{1}$ को सरल करें.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.7

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} + 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.8

$v$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} + v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

चरण 6.1.3.2

घातांक को ${(v^{- 1})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

चरण 6.1.3.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 2} v^{2}$

चरण 6.1.3.3

घातांक जोड़कर $v^{- 2}$ को $v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.3.1

$v^{2}$ ले जाएं.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} (v^{2} v^{- 2})$

चरण 6.1.3.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{2 - 2}$

चरण 6.1.3.3.3

$2$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{0}$

चरण 6.1.3.4

$- e^{x} v^{0}$ को सरल करें.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x}$

चरण 6.2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int d x}$

चरण 6.2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{x + C}$

चरण 6.2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{x}$

चरण 6.3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

प्रत्येक पद को $e^{x}$ से गुणा करें.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- e^{x})$

चरण 6.3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x} e^{x}$

चरण 6.3.3

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - (e^{x} e^{x})$

चरण 6.3.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x + x}$

चरण 6.3.3.3

$x$ और $x$ जोड़ें.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$

चरण 6.3.4

गुणनखंडों को $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - e^{2 x}$

चरण 6.4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - e^{2 x}$

चरण 6.5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - e^{2 x} d x$

चरण 6.6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{x} v = \int - e^{2 x} d x$

चरण 6.7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{x} v = - \int e^{2 x} d x$

चरण 6.7.2

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.2.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.2.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 6.7.2.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.7.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 6.7.2.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 6.7.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{x} v = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 6.7.3

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{x} v = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 6.7.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{x} v = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

चरण 6.7.5

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

चरण 6.7.6

सरल करें.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

चरण 6.7.7

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

चरण 6.8

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 6.8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.2.1

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 6.8.2.1.2

$v$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 6.8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.3.1.1

$e^{2 x}$ और $e^{x}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.3.1.1.1

$- \frac{1}{2} e^{2 x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 6.8.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.3.1.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 6.8.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 6.8.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 6.8.3.1.1.2.4

$- \frac{1}{2} e^{x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = - \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 6.8.3.1.2

$e^{x}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$v = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7

$y^{- 1}$ को $v$ से प्रतिस्थापित करें.

$y^{- 1} = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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