कैलकुलस उदाहरण

$3 y'' + y = 0$ ,

$y = \sin (k x)$

चरण 1

$y'$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में

$y$ का व्युत्पन्न

$y'$ है.

$y'$

चरण 1.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$

$f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ

$f (x) = \sin (x)$ और

$g (x) = k x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए,

$u$ को

$k x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

चरण 1.3.1.2

$u$ के संबंध में

$\sin (u)$ का व्युत्पन्न

$\cos (u)$ है.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

चरण 1.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को

$k x$ से बदलें.

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

चरण 1.3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चूंकि

$k$ ,

$x$ के संबंध में स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$k x$ का व्युत्पन्न

$k \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 1$ है.

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

चरण 1.3.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.1

$k$ को

$1$ से गुणा करें.

$\cos (k x) k$

चरण 1.3.2.3.2

$\cos (k x) k$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$k \cos (k x)$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = k \cos (k x)$

चरण 2

$y''$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्युत्पन्न सेट करें.

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

चरण 2.2

चूंकि

$k$ ,

$x$ के संबंध में स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$k \cos (k x)$ का व्युत्पन्न

$k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ है.

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$

$f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ

$f (x) = \cos (x)$ और

$g (x) = k x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए,

$u$ को

$k x$ के रूप में सेट करें.

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

चरण 2.3.2

$u$ के संबंध में

$\cos (u)$ का व्युत्पन्न

$- \sin (u)$ है.

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

चरण 2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को

$k x$ से बदलें.

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

चरण 2.4

चूंकि

$k$ ,

$x$ के संबंध में स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$k x$ का व्युत्पन्न

$k \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 2.5

$k$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

चरण 2.6

$k$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

चरण 2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

चरण 2.8

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

चरण 2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 1$ है.

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

चरण 2.10

$- 1$ को

$1$ से गुणा करें.

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

चरण 2.11

$k^{2} (- \sin (k x))$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

चरण 3

दिए गए डिफरेन्शल इक्वेश़न में प्रतिस्थापित करें.

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

चरण 4

$y$ को

$\sin (k x)$ से प्रतिस्थापित करें.

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

चरण 5

$k$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 1$ को

$3$ से गुणा करें.

$- 3 k^{2} y + y = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से

$y$ घटाएं.

$- 3 k^{2} y = - y$

चरण 5.3

$- 3 k^{2} y = - y$ के प्रत्येक पद को

$- 3 y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- 3 k^{2} y = - y$ के प्रत्येक पद को

$- 3 y$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$- 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

चरण 5.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

चरण 5.3.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

चरण 5.3.2.2.2

$k^{2}$ को

$1$ से विभाजित करें.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

चरण 5.3.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

चरण 5.3.3.2

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

चरण 5.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

चरण 5.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ को

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

चरण 5.5.2

$1$ का कोई भी मूल

$1$ होता है.

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

चरण 5.5.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ को

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 5.5.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ को

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 5.5.4.2

$\sqrt{3}$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 5.5.4.3

$\sqrt{3}$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 5.5.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 5.5.4.5

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 5.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को

$3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.6.1

$\sqrt{3}$ को

$3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 5.5.4.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 5.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ और

$2$ को मिलाएं.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 5.5.4.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 5.5.4.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 5.5.4.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 5.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए

$\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 5.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए

$\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 5.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

दशमलव रूप:

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

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