कैलकुलस उदाहरण

\frac{d y}{d t} = e^{t}

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ ,

y (0) = 1

$y (0) = 1$ ,

t = 5

$t = 5$ ,

h = 0.5

$h = 0.5$

चरण 1

f (t, y)

$f (t, y)$ को इस प्रकार परिभाषित करें कि

\frac{d y}{d t} = f (t, y)

$\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

f (t, y) = e^{t}

$f (t, y) = e^{t}$

चरण 2

f (0, 1)

$f (0, 1)$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

t

$t$ के लिए

0

$0$ और

y

$y$ के लिए

1

$1$ प्रतिस्थापित करें.

f (0, 1) = e^{0}

$f (0, 1) = e^{0}$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

e

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

f (0, 1) = {2.71828182}^{0}

$f (0, 1) = {2.71828182}^{0}$

चरण 2.2.2

2.71828182

$2.71828182$ को

0

$0$ के घात तक बढ़ाएं.

f (0, 1) = 1

$f (0, 1) = 1$

f (0, 1) = 1

$f (0, 1) = 1$

f (0, 1) = 1

$f (0, 1) = 1$

चरण 3

y_{1}

$y_{1}$ को खोजने के लिए पुनरावर्ती सूत्र

y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})

$y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रतिस्थापित करना.

y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1

$y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

0.5

$0.5$ को

1

$1$ से गुणा करें.

y_{1} = 1 + 0.5

$y_{1} = 1 + 0.5$

चरण 3.2.2

1

$1$ और

0.5

$0.5$ जोड़ें.

y_{1} = 1.5

$y_{1} = 1.5$

y_{1} = 1.5

$y_{1} = 1.5$

y_{1} = 1.5

$y_{1} = 1.5$

चरण 4

t_{1}

$t_{1}$ को खोजने के लिए पुनरावर्ती सूत्र

t_{1} = t_{0} + h

$t_{1} = t_{0} + h$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रतिस्थापित करना.

t_{1} = 0 + 0.5

$t_{1} = 0 + 0.5$

चरण 4.2

0

$0$ और

0.5

$0.5$ जोड़ें.

t_{1} = 0.5

$t_{1} = 0.5$

t_{1} = 0.5

$t_{1} = 0.5$

चरण 5

f (0.5, 1.5)

$f (0.5, 1.5)$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

t

$t$ के लिए

0.5

$0.5$ और

y

$y$ के लिए

1.5

$1.5$ प्रतिस्थापित करें.

f (0.5, 1.5) = e^{0.5}

$f (0.5, 1.5) = e^{0.5}$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

e

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}

$f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}$

चरण 5.2.2

2.71828182

$2.71828182$ को

0.5

$0.5$ के घात तक बढ़ाएं.

f (0.5, 1.5) = 1.64872127

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

f (0.5, 1.5) = 1.64872127

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

f (0.5, 1.5) = 1.64872127

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

चरण 6

y_{2}

$y_{2}$ को खोजने के लिए पुनरावर्ती सूत्र

y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})

$y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

प्रतिस्थापित करना.

y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127

$y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

0.5

$0.5$ को

1.64872127

$1.64872127$ से गुणा करें.

y_{2} = 1.5 + 0.82436063

$y_{2} = 1.5 + 0.82436063$

चरण 6.2.2

1.5

$1.5$ और

0.82436063

$0.82436063$ जोड़ें.

y_{2} = 2.32436063

$y_{2} = 2.32436063$

y_{2} = 2.32436063

$y_{2} = 2.32436063$

y_{2} = 2.32436063

$y_{2} = 2.32436063$

चरण 7

t_{2}

$t_{2}$ को खोजने के लिए पुनरावर्ती सूत्र

t_{2} = t_{1} + h

$t_{2} = t_{1} + h$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

प्रतिस्थापित करना.

t_{2} = 0.5 + 0.5

$t_{2} = 0.5 + 0.5$

चरण 7.2

0.5

$0.5$ और

0.5

$0.5$ जोड़ें.

t_{2} = 1

$t_{2} = 1$

t_{2} = 1

$t_{2} = 1$

चरण 8

वांछित परिणाम के अनुमानित होने तक इसी तरह जारी रखें.

चरण 9

एक तालिका में सन्निकटन सूचीबद्ध करें.

\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}$

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