कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{\sqrt{x}}$

चरण 1

मान लें $y = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\sqrt{x}})$

चरण 2

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\ln (y) = \ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ का प्रसार करें.

$\ln (y) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

चरण 3

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

चरण 3.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

चरण 3.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.4.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

$x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.5.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.5.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.5.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.5.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 3.2.7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 3.2.8

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 3.2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 3.2.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.10.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 3.2.10.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 3.2.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 3.2.12

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 3.2.13

$\ln (x)$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 3.2.14

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\sqrt{x}}$

चरण 5

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

चरण 5.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ और $x^{\sqrt{x}}$ को मिलाएं.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

चरण 5.3

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ और $x^{\sqrt{x}}$ को मिलाएं.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$x^{\sqrt{x}}$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.4.2.4

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.4.3

$\ln (x) x^{\sqrt{x}}$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.4.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.4.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

चरण 5.4.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

चरण 5.4.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 5.4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.5.1

$\sqrt{x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 5.4.5.2

$\sqrt{x}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 5.4.5.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

चरण 5.4.5.4

$2$ को $\sqrt{x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

चरण 5.5

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

चरण 5.6

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

चरण 5.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

चरण 5.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

चरण 5.8.2

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

चरण 5.8.3

$2$ को $x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y' = \frac{2 \cdot x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

चरण 5.8.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y' = \frac{2 x^{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

चरण 5.8.4.2

$x^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

चरण 5.8.4.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

चरण 5.8.4.4

$2$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

चरण 5.8.5

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ में से $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.5.1

$\ln (x)$ और $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ को पुन: क्रमित करें.

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

चरण 5.8.5.2

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ में से $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

चरण 5.8.5.3

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)$ में से $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))}{2}$

चरण 5.8.5.4

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))$ में से $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

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