कैलकुलस उदाहरण

\frac{x + 3}{x^{2} - 1}

$\frac{x + 3}{x^{2} - 1}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ

f (x) = x + 3

$f (x) = x + 3$ और

g (x) = x^{2} - 1

$g (x) = x^{2} - 1$ है.

\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार,

x

$x$ के संबंध में

x + 3

$x + 3$ का व्युत्पन्न

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

n = 1

$n = 1$ है.

\frac{(x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.3

चूंकि

x

$x$ के संबंध में

3

$3$ स्थिर है,

x

$x$ के संबंध में

3

$3$ का व्युत्पन्न

0

$0$ है.

\frac{(x^{2} - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.4

1

$1$ और

0

$0$ जोड़ें.

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.5

योग नियम के अनुसार,

x

$x$ के संबंध में

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

n = 2

$n = 2$ है.

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.7

चूंकि

x

$x$ के संबंध में

- 1

$- 1$ स्थिर है,

x

$x$ के संबंध में

- 1

$- 1$ का व्युत्पन्न

0

$0$ है.

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.8

2 x

$2 x$ और

0

$0$ जोड़ें.

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$x^{2}$ को

$1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 1 \cdot 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.2

$- 1$ को

$1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.4

घातांक जोड़कर

$x$ को

$x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.4.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.4.2

$x$ को

$x$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.5

$- 1$ को

$2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.6

$- 1$ को

$3$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.1.7

$2$ को

$- 3$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.2

$x^{2}$ में से

$2 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- x^{2} - 1 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$1$ को

$1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

चरण 3.6.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां

$a = x$ और

$b = 1$ .

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

चरण 3.6.3

उत्पाद नियम को

$(x + 1) (x - 1)$ पर लागू करें.

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.7

$- x^{2}$ में से

$- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2}) - 6 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.8

$- 6 x$ में से

$- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2}) - (6 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.9

$- (x^{2}) - (6 x)$ में से

$- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2} + 6 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.10

$- 1$ को

$- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (x^{2} + 6 x) - 1 (1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.11

$- (x^{2} + 6 x) - 1 (1)$ में से

$- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2} + 6 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.12

$- (x^{2} + 6 x + 1)$ को

$- 1 (x^{2} + 6 x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (x^{2} + 6 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x^{2} + 6 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

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