कैलकुलस उदाहरण

y = x^{2}

$y = x^{2}$ ,

y = x

$y = x$

चरण 1

ठोस का आयतन ज्ञात करने के लिए, पहले प्रत्येक स्लाइस के क्षेत्र को परिभाषित करें और फिर पूरे रेंज में एकीकृत करें. प्रत्येक स्लाइस का क्षेत्रफल

f (x)

$f (x)$ और

A = π r^{2}

$A = π r^{2}$ त्रिज्या वाले वृत्तों का क्षेत्रफल है.

V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ जहां

f (x) = x

$f (x) = x$ और

g (x) = x^{2}

$g (x) = x^{2}$

चरण 2

घातांक को

{(x^{2})}^{2}

${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}

$V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

चरण 2.2

2

$2$ को

2

$2$ से गुणा करें.

V = x^{2} - x^{4}

$V = x^{2} - x^{4}$

V = x^{2} - x^{4}

$V = x^{2} - x^{4}$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

चरण 4

घात नियम के अनुसार,

x

$x$ के संबंध में

x^{2}

$x^{2}$ का समाकलन

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ है.

V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

चरण 5

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ और

x^{3}

$x^{3}$ को मिलाएं.

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

चरण 6

चूँकि

- 1

$- 1$ बटे

x

$x$ अचर है,

- 1

$- 1$ को समाकलन से हटा दें.

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

चरण 7

घात नियम के अनुसार,

x

$x$ के संबंध में

x^{4}

$x^{4}$ का समाकलन

\frac{1}{5} x^{5}

$\frac{1}{5} x^{5}$ है.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

चरण 8

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{5}$ और

$x^{5}$ को मिलाएं.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

चरण 8.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$1$ पर और

$0$ पर

$\frac{x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

चरण 8.2.2

$1$ पर और

$0$ पर

$\frac{x^{5}}{5}$ का मान ज्ञात करें.

$V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

चरण 8.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

चरण 8.2.3.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से

$0$ प्राप्त होता है.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

चरण 8.2.3.3

$0$ और

$3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.3.1

$0$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

चरण 8.2.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.3.2.1

$3$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

चरण 8.2.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

चरण 8.2.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

चरण 8.2.3.3.2.4

$0$ को

$1$ से विभाजित करें.

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

चरण 8.2.3.4

$- 1$ को

$0$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

चरण 8.2.3.5

$\frac{1}{3}$ और

$0$ जोड़ें.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

चरण 8.2.3.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

चरण 8.2.3.7

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से

$0$ प्राप्त होता है.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

चरण 8.2.3.8

$0$ और

$5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.8.1

$0$ में से

$5$ का गुणनखंड करें.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

चरण 8.2.3.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.8.2.1

$5$ में से

$5$ का गुणनखंड करें.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

चरण 8.2.3.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

चरण 8.2.3.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

चरण 8.2.3.8.2.4

$0$ को

$1$ से विभाजित करें.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

चरण 8.2.3.9

$- 1$ को

$0$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))$

चरण 8.2.3.10

$\frac{1}{5}$ और

$0$ जोड़ें.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

चरण 8.2.3.11

$\frac{1}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए,

$\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

चरण 8.2.3.12

$- \frac{1}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए,

$\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

चरण 8.2.3.13

प्रत्येक व्यंजक को

$15$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को

$1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.13.1

$\frac{1}{3}$ को

$\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

चरण 8.2.3.13.2

$3$ को

$5$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

चरण 8.2.3.13.3

$\frac{1}{5}$ को

$\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

चरण 8.2.3.13.4

$5$ को

$3$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

चरण 8.2.3.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$V = π (\frac{5 - 3}{15})$

चरण 8.2.3.15

$5$ में से

$3$ घटाएं.

$V = π (\frac{2}{15})$

चरण 8.2.3.16

$π$ और

$\frac{2}{15}$ को मिलाएं.

$V = \frac{π \cdot 2}{15}$

चरण 8.2.3.17

$2$ को

$π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$V = \frac{2 π}{15}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$V = \frac{2 π}{15}$

दशमलव रूप:

$V = 0.41887902 \dots$

चरण 10

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