कैलकुलस उदाहरण

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

चरण 1

एक निर्दिष्ट अंतराल $[a, b]$ पर एक फलन $f$ का मूल माध्य वर्ग (RMS) मूल मानों के वर्गों के समानांतर माध्य (औसत) का वर्गमूल है.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

चरण 2

किसी फलन के मूल माध्य वर्ग के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

चरण 3

समाकल का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लीजिए $u = 4 x - 2$ .फिर $d u = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

मान लें $u = 4 x - 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

$4 x - 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

चरण 3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 3.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 3.1.1.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 3.1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 + 0$

चरण 3.1.1.4.2

$4$ और $0$ जोड़ें.

$4$

चरण 3.1.2

$x$ के लिए $u = 4 x - 2$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

चरण 3.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 4 - 2$

चरण 3.1.3.2

$4$ में से $2$ घटाएं.

$u_{lower} = 2$

चरण 3.1.4

$x$ के लिए $u = 4 x - 2$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

चरण 3.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.5.1

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 12 - 2$

चरण 3.1.5.2

$12$ में से $2$ घटाएं.

$u_{upper} = 10$

चरण 3.1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

चरण 3.1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

चरण 3.2

$u^{2}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

चरण 3.3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

चरण 3.4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

चरण 3.5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$10$ पर और $2$ पर $\frac{1}{3} u^{3}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

चरण 3.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$10$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

चरण 3.5.2.2

$\frac{1}{3}$ और $1000$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

चरण 3.5.2.3

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

चरण 3.5.2.4

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

चरण 3.5.2.5

$- 8$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

चरण 3.5.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

चरण 3.5.2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

चरण 3.5.2.8

$1000$ में से $8$ घटाएं.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

चरण 3.5.2.9

$\frac{1}{4}$ को $\frac{992}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

चरण 3.5.2.10

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{992}{12}$

चरण 3.5.2.11

$992$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.11.1

$992$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (248)}{12}$

चरण 3.5.2.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.11.2.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

चरण 3.5.2.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

चरण 3.5.2.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{248}{3}$

चरण 4

मूल माध्य वर्ग सूत्र को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{3 - 1}$ को $\frac{248}{3}$ से गुणा करें.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

चरण 4.2

$3$ में से $1$ घटाएं.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

चरण 4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{248}{2 \cdot 3}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$248$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

चरण 4.3.2

$2 \cdot 3$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

चरण 4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

चरण 4.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

चरण 4.4

$\sqrt{\frac{124}{3}}$ को $\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

चरण 4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$124$ को $2^{2} \cdot 31$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1.1

$124$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

चरण 4.5.1.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

चरण 4.5.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

चरण 4.6

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 4.7

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 4.7.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 4.7.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 4.7.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 4.7.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 4.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 4.7.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 4.7.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 4.7.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

चरण 4.7.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

चरण 4.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

चरण 4.8.2

$3$ को $31$ से गुणा करें.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

दशमलव रूप:

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

चरण 6

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