कैलकुलस उदाहरण

y = x - 2

$y = x - 2$ ,

(2, 7)

$(2, 7)$

चरण 1

एक निर्दिष्ट अंतराल

[a, b]

$[a, b]$ पर एक फलन

f

$f$ का मूल माध्य वर्ग (RMS) मूल मानों के वर्गों के समानांतर माध्य (औसत) का वर्गमूल है.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

चरण 2

किसी फलन के मूल माध्य वर्ग के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}$

चरण 3

समाकल का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लीजिए

u = x - 2

$u = x - 2$ . फिर

d u = d x

$d u = d x$ .

u

$u$ और

d

$d$

u

$u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

मान लें

u = x - 2

$u = x - 2$ .

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

x - 2

$x - 2$ को अवकलित करें.

\frac{d}{d x} [x - 2]

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

चरण 3.1.1.2

योग नियम के अनुसार,

x

$x$ के संबंध में

x - 2

$x - 2$ का व्युत्पन्न

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 3.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

n = 1

$n = 1$ है.

1 + \frac{d}{d x} [- 2]

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 3.1.1.4

चूंकि

x

$x$ के संबंध में

- 2

$- 2$ स्थिर है,

x

$x$ के संबंध में

- 2

$- 2$ का व्युत्पन्न

0

$0$ है.

1 + 0

$1 + 0$

चरण 3.1.1.5

1

$1$ और

0

$0$ जोड़ें.

1

$1$

1

$1$

चरण 3.1.2

x

$x$ के लिए

u = x - 2

$u = x - 2$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

u_{lower} = 2 - 2

$u_{lower} = 2 - 2$

चरण 3.1.3

2

$2$ में से

2

$2$ घटाएं.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

चरण 3.1.4

x

$x$ के लिए

u = x - 2

$u = x - 2$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

u_{upper} = 7 - 2

$u_{upper} = 7 - 2$

चरण 3.1.5

7

$7$ में से

2

$2$ घटाएं.

u_{upper} = 5

$u_{upper} = 5$

चरण 3.1.6

u_{lower}

$u_{lower}$ और

u_{upper}

$u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 5

$u_{upper} = 5$

चरण 3.1.7

u

$u$ ,

d u

$d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

\int_{0}^{5} u^{2} d u

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

\int_{0}^{5} u^{2} d u

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

चरण 3.2

घात नियम के अनुसार,

u

$u$ के संबंध में

u^{2}

$u^{2}$ का समाकलन

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ है.

\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}$

चरण 3.3

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

5

$5$ पर और

0

$0$ पर

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ का मान ज्ञात करें.

(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

चरण 3.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

5

$5$ को

3

$3$ के घात तक बढ़ाएं.

\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

चरण 3.3.2.2

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ और

125

$125$ को मिलाएं.

\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

चरण 3.3.2.3

0

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से

0

$0$ प्राप्त होता है.

\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

चरण 3.3.2.4

0

$0$ को

- 1

$- 1$ से गुणा करें.

\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})

$\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

चरण 3.3.2.5

0

$0$ को

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

\frac{125}{3} + 0

$\frac{125}{3} + 0$

चरण 3.3.2.6

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$ और

0

$0$ जोड़ें.

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

चरण 4

मूल माध्य वर्ग सूत्र को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

\frac{1}{7 - 2}

$\frac{1}{7 - 2}$ को

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$ से गुणा करें.

f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}$

चरण 4.2

7

$7$ में से

2

$2$ घटाएं.

f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}$

चरण 4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक

\frac{125}{5 \cdot 3}

$\frac{125}{5 \cdot 3}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

125

$125$ में से

5

$5$ का गुणनखंड करें.

f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

चरण 4.3.2

5 \cdot 3

$5 \cdot 3$ में से

5

$5$ का गुणनखंड करें.

f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}$

चरण 4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

चरण 4.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

चरण 4.4

\sqrt{\frac{25}{3}}

$\sqrt{\frac{25}{3}}$ को

\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

चरण 4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

25

$25$ को

5^{2}

$5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

चरण 4.5.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

चरण 4.6

\frac{5}{\sqrt{3}}

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ को

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 4.7

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

\frac{5}{\sqrt{3}}

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ को

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 4.7.2

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ को

1

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 4.7.3

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ को

1

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 4.7.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 4.7.5

1

$1$ और

1

$1$ जोड़ें.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 4.7.6

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ को

3

$3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.6.1

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ को

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 4.7.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 4.7.6.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ और

2

$2$ को मिलाएं.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 4.7.6.4

2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 4.7.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}