कैलकुलस उदाहरण

$y = 5 x + 5$ , $[- 1, 1]$

चरण 1

एक निर्दिष्ट अंतराल $[a, b]$ पर एक फलन $f$ का मूल माध्य वर्ग (RMS) मूल मानों के वर्गों के समानांतर माध्य (औसत) का वर्गमूल है.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

चरण 2

किसी फलन के मूल माध्य वर्ग के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(5 x + 5)}^{2} d x)}$

चरण 3

समाकल का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लीजिए $u = 5 x + 5$ .फिर $d u = 5 d x$ , तो $\frac{1}{5} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

मान लें $u = 5 x + 5$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

$5 x + 5$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [5 x + 5]$

चरण 3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x + 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ है.

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.3.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 3.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 3.1.1.3.3

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5 + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 3.1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$5 + 0$

चरण 3.1.1.4.2

$5$ और $0$ जोड़ें.

$5$

चरण 3.1.2

$x$ के लिए $u = 5 x + 5$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 5 \cdot - 1 + 5$

चरण 3.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = - 5 + 5$

चरण 3.1.3.2

$- 5$ और $5$ जोड़ें.

$u_{lower} = 0$

चरण 3.1.4

$x$ के लिए $u = 5 x + 5$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 5 \cdot 1 + 5$

चरण 3.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.5.1

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 5 + 5$

चरण 3.1.5.2

$5$ और $5$ जोड़ें.

$u_{upper} = 10$

चरण 3.1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

चरण 3.1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{10} u^{2} \frac{1}{5} d u$

चरण 3.2

$u^{2}$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{10} \frac{u^{2}}{5} d u$

चरण 3.3

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{10} u^{2} d u$

चरण 3.4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$\frac{1}{5} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{10}$

चरण 3.5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$10$ पर और $0$ पर $\frac{1}{3} u^{3}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

चरण 3.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$10$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

चरण 3.5.2.2

$\frac{1}{3}$ और $1000$ को मिलाएं.

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

चरण 3.5.2.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

चरण 3.5.2.4

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

चरण 3.5.2.5

$0$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0)$

चरण 3.5.2.6

$\frac{1000}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1000}{3}$

चरण 3.5.2.7

$\frac{1}{5}$ को $\frac{1000}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1000}{5 \cdot 3}$

चरण 3.5.2.8

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1000}{15}$

चरण 3.5.2.9

$1000$ और $15$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.9.1

$1000$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{5 (200)}{15}$

चरण 3.5.2.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.9.2.1

$15$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

चरण 3.5.2.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

चरण 3.5.2.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{200}{3}$

चरण 4

मूल माध्य वर्ग सूत्र को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{1 + 1}$ को $\frac{200}{3}$ से गुणा करें.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{(1 + 1) \cdot 3}}$

चरण 4.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{2 \cdot 3}}$

चरण 4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{200}{2 \cdot 3}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$200$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

चरण 4.3.2

$2 \cdot 3$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 (3)}}$

चरण 4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

चरण 4.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{100}{3}}$

चरण 4.4

$\sqrt{\frac{100}{3}}$ को $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$

चरण 4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$100$ को $10^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{10^{2}}}{\sqrt{3}}$

चरण 4.5.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

चरण 4.6

$\frac{10}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 4.7

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$\frac{10}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 4.7.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 4.7.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 4.7.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 4.7.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 4.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 4.7.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 4.7.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 4.7.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

चरण 4.7.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

दशमलव रूप:

$f_{rms} = 5.77350269 \dots$

चरण 6

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