कैलकुलस उदाहरण
f(x)=x2+2x , [0,6]
चरण 1
चरण 1.1
पहला व्युत्पन्न पता करें.
चरण 1.1.1
अवकलन करें.
चरण 1.1.1.1
योग नियम के अनुसार, x के संबंध में x2+2x का व्युत्पन्न ddx[x2]+ddx[2x] है.
ddx[x2]+ddx[2x]
चरण 1.1.1.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn] nxn-1 है, जहाँ n=2 है.
2x+ddx[2x]
2x+ddx[2x]
चरण 1.1.2
ddx[2x] का मान ज्ञात करें.
चरण 1.1.2.1
चूंकि 2, x के संबंध में स्थिर है, x के संबंध में 2x का व्युत्पन्न 2ddx[x] है.
2x+2ddx[x]
चरण 1.1.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn] nxn-1 है, जहाँ n=1 है.
2x+2⋅1
चरण 1.1.2.3
2 को 1 से गुणा करें.
f′(x)=2x+2
f′(x)=2x+2
f′(x)=2x+2
चरण 1.2
f(x) का पहला व्युत्पन्न बटे x, 2x+2 है.
2x+2
2x+2
चरण 2
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
मध्यवर्ती संकेतन:
(-∞,∞)
सेट-बिल्डर संकेतन:
{x|x∈ℝ}
चरण 3
f′(x) [0,6] पर निरंतर है.
f′(x) निरंतर है
चरण 4
अंतराल [a,b] पर फलन f′ का औसत मान A(x)=1b-a∫baf(x)dx के रूप में परिभाषित किया गया है.
A(x)=1b-a∫baf(x)dx
चरण 5
किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
A(x)=16-0(∫602x+2dx)
चरण 6
एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.
A(x)=16-0(∫602xdx+∫602dx)
चरण 7
चूँकि 2 बटे x अचर है, 2 को समाकलन से हटा दें.
A(x)=16-0(2∫60xdx+∫602dx)
चरण 8
घात नियम के अनुसार, x के संबंध में x का समाकलन 12x2 है.
A(x)=16-0(2(12x2]60)+∫602dx)
चरण 9
12 और x2 को मिलाएं.
A(x)=16-0(2(x22]60)+∫602dx)
चरण 10
स्थिरांक नियम लागू करें.
A(x)=16-0(2(x22]60)+2x]60)
चरण 11
चरण 11.1
6 पर और 0 पर x22 का मान ज्ञात करें.
A(x)=16-0(2((622)-022)+2x]60)
चरण 11.2
6 पर और 0 पर 2x का मान ज्ञात करें.
A(x)=16-0(2(622-022)+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3
सरल करें.
चरण 11.3.1
6 को 2 के घात तक बढ़ाएं.
A(x)=16-0(2(362-022)+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.2
36 और 2 के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 11.3.2.1
36 में से 2 का गुणनखंड करें.
A(x)=16-0(2(2⋅182-022)+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 11.3.2.2.1
2 में से 2 का गुणनखंड करें.
A(x)=16-0(2(2⋅182(1)-022)+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.2.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
A(x)=16-0(2(2⋅182⋅1-022)+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.2.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
A(x)=16-0(2(181-022)+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.2.2.4
18 को 1 से विभाजित करें.
A(x)=16-0(2(18-022)+2⋅6-2⋅0)
A(x)=16-0(2(18-022)+2⋅6-2⋅0)
A(x)=16-0(2(18-022)+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.3
0 को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से 0 प्राप्त होता है.
A(x)=16-0(2(18-02)+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.4
0 और 2 के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 11.3.4.1
0 में से 2 का गुणनखंड करें.
A(x)=16-0(2(18-2(0)2)+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.4.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 11.3.4.2.1
2 में से 2 का गुणनखंड करें.
A(x)=16-0(2(18-2⋅02⋅1)+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.4.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
A(x)=16-0(2(18-2⋅02⋅1)+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.4.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
A(x)=16-0(2(18-01)+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.4.2.4
0 को 1 से विभाजित करें.
A(x)=16-0(2(18-0)+2⋅6-2⋅0)
A(x)=16-0(2(18-0)+2⋅6-2⋅0)
A(x)=16-0(2(18-0)+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.5
-1 को 0 से गुणा करें.
A(x)=16-0(2(18+0)+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.6
18 और 0 जोड़ें.
A(x)=16-0(2⋅18+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.7
2 को 18 से गुणा करें.
A(x)=16-0(36+2⋅6-2⋅0)
चरण 11.3.8
2 को 6 से गुणा करें.
A(x)=16-0(36+12-2⋅0)
चरण 11.3.9
-2 को 0 से गुणा करें.
A(x)=16-0(36+12+0)
चरण 11.3.10
12 और 0 जोड़ें.
A(x)=16-0(36+12)
चरण 11.3.11
36 और 12 जोड़ें.
A(x)=16-0(48)
A(x)=16-0(48)
A(x)=16-0(48)
चरण 12
चरण 12.1
-1 को 0 से गुणा करें.
A(x)=16+0⋅48
चरण 12.2
6 और 0 जोड़ें.
A(x)=16⋅48
A(x)=16⋅48
चरण 13
चरण 13.1
48 में से 6 का गुणनखंड करें.
A(x)=16⋅(6(8))
चरण 13.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
A(x)=16⋅(6⋅8)
चरण 13.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
A(x)=8
A(x)=8
चरण 14