कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{6} - 3 x^{4}$ , $[0, 2]$

चरण 1

$f (x) = x^{6} - 3 x^{4}$ का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{6} - 3 x^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

चरण 1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 6$ है.

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x^{4}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$6 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$6 x^{5} - 3 (4 x^{3})$

चरण 1.1.2.3

$4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 x^{5} - 12 x^{3}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $6 x^{5} - 12 x^{3}$ है.

$6 x^{5} - 12 x^{3}$

चरण 2

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 3

$f' (x)$ $[0, 2]$ पर निरंतर है.

$f' (x)$ निरंतर है

चरण 4

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f'$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 5

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 6 x^{5} - 12 x^{3} d x)$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 6 x^{5} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

चरण 7

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 \int_{0}^{2} x^{5} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{5}$ का समाकलन $\frac{1}{6} x^{6}$ है.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

चरण 9

$\frac{1}{6}$ और $x^{6}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

चरण 10

चूँकि $- 12$ बटे $x$ अचर है, $- 12$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 \int_{0}^{2} x^{3} d x)$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}))$

चरण 12

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{4}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}))$

चरण 12.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$2$ पर और $0$ पर $\frac{x^{6}}{6}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 ((\frac{2^{6}}{6}) - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}))$

चरण 12.2.2

$2$ पर और $0$ पर $\frac{x^{4}}{4}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.1

$2$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{64}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.2

$64$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.2.1

$64$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 (32)}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.2.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.4

$0$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.4.1

$0$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 (0)}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.4.2.1

$6$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0}{1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.4.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - 0) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.5

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} + 0) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.6

$\frac{32}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.7

$6$ और $\frac{32}{3}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{6 \cdot 32}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.8

$6$ को $32$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{192}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.9

$192$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.9.1

$192$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.9.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3 (1)} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3 \cdot 1} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{64}{1} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.9.2.4

$64$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.10

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.11

$16$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.11.1

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.11.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.11.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0^{4}}{4}))$

चरण 12.2.3.12

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0}{4}))$

चरण 12.2.3.13

$0$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.13.1

$0$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 (0)}{4}))$

चरण 12.2.3.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.13.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

चरण 12.2.3.13.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

चरण 12.2.3.13.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0}{1}))$

चरण 12.2.3.13.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - 0))$

चरण 12.2.3.14

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 + 0))$

चरण 12.2.3.15

$4$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 \cdot 4)$

चरण 12.2.3.16

$- 12$ को $4$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 48)$

चरण 12.2.3.17

$64$ में से $48$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (16)$

चरण 13

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot 16$

चरण 13.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 16$

चरण 14

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8))$

चरण 14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8)$

चरण 14.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = 8$

चरण 15

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