कैलकुलस उदाहरण
f(x)=6x-6 , (0,4)
चरण 1
चरण 1.1
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
मध्यवर्ती संकेतन:
(-∞,∞)
सेट-बिल्डर संकेतन:
{x|x∈ℝ}
चरण 1.2
f(x) [0,4] पर निरंतर है.
फलन निरंतर है.
फलन निरंतर है.
चरण 2
चरण 2.1
व्युत्पन्न पता करें.
चरण 2.1.1
पहला व्युत्पन्न पता करें.
चरण 2.1.1.1
योग नियम के अनुसार, x के संबंध में 6x-6 का व्युत्पन्न ddx[6x]+ddx[-6] है.
ddx[6x]+ddx[-6]
चरण 2.1.1.2
ddx[6x] का मान ज्ञात करें.
चरण 2.1.1.2.1
चूंकि 6, x के संबंध में स्थिर है, x के संबंध में 6x का व्युत्पन्न 6ddx[x] है.
6ddx[x]+ddx[-6]
चरण 2.1.1.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn] nxn-1 है, जहाँ n=1 है.
6⋅1+ddx[-6]
चरण 2.1.1.2.3
6 को 1 से गुणा करें.
6+ddx[-6]
6+ddx[-6]
चरण 2.1.1.3
स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.
चरण 2.1.1.3.1
चूंकि x के संबंध में -6 स्थिर है, x के संबंध में -6 का व्युत्पन्न 0 है.
6+0
चरण 2.1.1.3.2
6 और 0 जोड़ें.
f′(x)=6
f′(x)=6
f′(x)=6
चरण 2.1.2
f(x) का पहला व्युत्पन्न बटे x, 6 है.
6
6
चरण 2.2
पता करें कि व्युत्पन्न [0,4] पर सतत है या नहीं.
चरण 2.2.1
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
मध्यवर्ती संकेतन:
(-∞,∞)
सेट-बिल्डर संकेतन:
{x|x∈ℝ}
चरण 2.2.2
f′(x) [0,4] पर निरंतर है.
फलन निरंतर है.
फलन निरंतर है.
चरण 2.3
फलन [0,4] पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न [0,4] पर निरंतर है.
फलन अवकलनीय है.
फलन अवकलनीय है.
चरण 3
चाप की लंबाई की गारंटी के लिए, फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न दोनों को बंद अंतराल [0,4] पर निरंतर होना चाहिए.
बंद अंतराल [0,4] पर फलन और उसका व्युत्पन्न निरंतर हैं.
चरण 4
चरण 4.1
योग नियम के अनुसार, x के संबंध में 6x-6 का व्युत्पन्न ddx[6x]+ddx[-6] है.
ddx[6x]+ddx[-6]
चरण 4.2
ddx[6x] का मान ज्ञात करें.
चरण 4.2.1
चूंकि 6, x के संबंध में स्थिर है, x के संबंध में 6x का व्युत्पन्न 6ddx[x] है.
6ddx[x]+ddx[-6]
चरण 4.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn] nxn-1 है, जहाँ n=1 है.
6⋅1+ddx[-6]
चरण 4.2.3
6 को 1 से गुणा करें.
6+ddx[-6]
6+ddx[-6]
चरण 4.3
स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.
चरण 4.3.1
चूंकि x के संबंध में -6 स्थिर है, x के संबंध में -6 का व्युत्पन्न 0 है.
6+0
चरण 4.3.2
6 और 0 जोड़ें.
6
6
6
चरण 5
किसी फलन की चाप लंबाई ज्ञात करने के लिए, सूत्र L=∫ba√1+(f′(x))2dx का उपयोग करें.
∫40√1+(6)2dx
चरण 6
चरण 6.1
स्थिरांक नियम लागू करें.
√37x]40
चरण 6.2
प्रतिस्थापित करें और सरल करें.
चरण 6.2.1
4 पर और 0 पर √37x का मान ज्ञात करें.
(√37⋅4)-√37⋅0
चरण 6.2.2
सरल करें.
चरण 6.2.2.1
4 को √37 के बाईं ओर ले जाएं.
4⋅√37-√37⋅0
चरण 6.2.2.2
0 को -1 से गुणा करें.
4√37+0√37
चरण 6.2.2.3
0 को √37 से गुणा करें.
4√37+0
चरण 6.2.2.4
4√37 और 0 जोड़ें.
4√37
4√37
4√37
4√37
चरण 7
परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.
सटीक रूप:
4√37
दशमलव रूप:
24.33105012…
चरण 8
