कैलकुलस उदाहरण

y = x^{2} + x

$y = x^{2} + x$ ,

$y = x + 2$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$x^{2} + x = x + 2$

चरण 1.2

$x$ के लिए

$x^{2} + x = x + 2$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से

$x$ घटाएं.

$x^{2} + x - x = 2$

चरण 1.2.1.2

$x^{2} + x - x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.2.1

$x$ में से

$x$ घटाएं.

$x^{2} + 0 = 2$

चरण 1.2.1.2.2

$x^{2}$ और

$0$ जोड़ें.

$x^{2} = 2$

चरण 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

चरण 1.2.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए

$\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{2}$

चरण 1.2.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए

$\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{2}$

चरण 1.2.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब

$x = \sqrt{2}$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\sqrt{2}$ को

$x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = (\sqrt{2}) + 2$

चरण 1.3.2

$\sqrt{2}$ को

$x$ के लिए

$y = (\sqrt{2}) + 2$ में प्रतिस्थापित करें और

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = \sqrt{2} + 2$

चरण 1.3.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = (\sqrt{2}) + 2$

चरण 1.3.2.3

कोष्ठक हटा दें.

$y = \sqrt{2} + 2$

चरण 1.4

$y$ का मूल्यांकन करें जब

$x = - \sqrt{2}$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$- \sqrt{2}$ को

$x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

चरण 1.4.2

$- \sqrt{2}$ को

$x$ के लिए

$y = (- \sqrt{2}) + 2$ में प्रतिस्थापित करें और

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \sqrt{2} + 2$

चरण 1.4.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

चरण 1.4.2.3

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \sqrt{2} + 2$

चरण 1.5

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} + x d x$

चरण 3

$- \sqrt{2}$ और

$\sqrt{2}$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - (x^{2} + x) d x$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - x^{2} - x d x$

चरण 3.3

$x + 2 - x^{2} - x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$x$ में से

$x$ घटाएं.

$2 - x^{2} + 0$

चरण 3.3.2

$2 - x^{2}$ और

$0$ जोड़ें.

$2 - x^{2}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 - x^{2} d x$

चरण 3.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

चरण 3.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

चरण 3.6

चूँकि

$- 1$ बटे

$x$ अचर है,

$- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x$

चरण 3.7

घात नियम के अनुसार,

$x$ के संबंध में

$x^{2}$ का समाकलन

$\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

चरण 3.8

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

$\frac{1}{3}$ और

$x^{3}$ को मिलाएं.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

चरण 3.8.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1

$\sqrt{2}$ पर और

$- \sqrt{2}$ पर

$2 x$ का मान ज्ञात करें.

$(2 \sqrt{2}) - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

चरण 3.8.2.2

$\sqrt{2}$ पर और

$- \sqrt{2}$ पर

$\frac{x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

चरण 3.8.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.3.1

$- 1$ को

$- 2$ से गुणा करें.

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

चरण 3.8.2.3.2

$2 \sqrt{2}$ और

$2 \sqrt{2}$ जोड़ें.

$4 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

चरण 3.8.2.3.3

${\sqrt{2}}^{3}$ को

$\sqrt{2^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

चरण 3.8.2.3.4

$2$ को

$3$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

चरण 3.8.2.3.5

$- \sqrt{2}$ में से

$- 1$ का गुणनखंड करें.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3})$

चरण 3.8.2.3.6

उत्पाद नियम को

$- (\sqrt{2})$ पर लागू करें.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

चरण 3.8.2.3.7

$- 1$ को

$3$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

चरण 3.8.2.3.8

${\sqrt{2}}^{3}$ को

$\sqrt{2^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3})$

चरण 3.8.2.3.9

$2$ को

$3$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3})$

चरण 3.8.2.3.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3})$

चरण 3.8.2.3.11

$- 1$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3})$

चरण 3.8.2.3.12

$\frac{\sqrt{8}}{3}$ को

$1$ से गुणा करें.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3})$

चरण 3.8.2.3.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$4 \sqrt{2} - \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3}$

चरण 3.8.2.3.14

$\sqrt{8}$ और

$\sqrt{8}$ जोड़ें.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{8}}{3}$

चरण 3.8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1

$8$ को

$2^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.1

$8$ में से

$4$ का गुणनखंड करें.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{4 (2)}}{3}$

चरण 3.8.3.1.2

$4$ को

$2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

चरण 3.8.3.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 (2 \sqrt{2})}{3}$

चरण 3.8.3.3

$2$ को

$2$ से गुणा करें.

$4 \sqrt{2} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

चरण 3.8.3.4

$4 \sqrt{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए,

$\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$4 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

चरण 3.8.3.5

$4 \sqrt{2}$ और

$\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

चरण 3.8.3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{3}$

चरण 3.8.3.7

$3$ को

$4$ से गुणा करें.

$\frac{12 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}}{3}$

चरण 3.8.3.8

$12 \sqrt{2}$ में से

$4 \sqrt{2}$ घटाएं.

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

चरण 4

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

दशमलव रूप:

$3.77123616 \dots$

चरण 5

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