कैलकुलस उदाहरण
f(x)=3x2+6x-5f(x)=3x2+6x−5 , [-5,1][−5,1]
चरण 1
यदि ff अंतराल [a,b][a,b] पर निरंतर है और (a,b)(a,b) पर अवकलनीय है, तो अंतराल (a,b)(a,b) में कम से कम एक वास्तविक संख्या cc मौजूद है जैसे कि f′(c)=f(b)-fab-a. माध्य मान प्रमेय x=c पर वक्र के स्पर्शरेखा के ढलान और बिंदुओं (a,f(a)) और (b,f(b)) के माध्यम से रेखा के ढलान के बीच संबंध को व्यक्त करती है.
अगर f(x) [a,b] पर निरन्तर है
और यदि f(x) (a,b) पर अवकलनीय है,
तो [a,b]: f′(c)=f(b)-fab-a में कम से कम एक बिंदु c मौजूद है.
चरण 2
चरण 2.1
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
मध्यवर्ती संकेतन:
(-∞,∞)
सेट-बिल्डर संकेतन:
{x|x∈ℝ}
चरण 2.2
f(x) [-5,1] पर निरंतर है.
फलन निरंतर है.
फलन निरंतर है.
चरण 3
चरण 3.1
पहला व्युत्पन्न पता करें.
चरण 3.1.1
योग नियम के अनुसार, x के संबंध में 3x2+6x-5 का व्युत्पन्न ddx[3x2]+ddx[6x]+ddx[-5] है.
ddx[3x2]+ddx[6x]+ddx[-5]
चरण 3.1.2
ddx[3x2] का मान ज्ञात करें.
चरण 3.1.2.1
चूंकि 3, x के संबंध में स्थिर है, x के संबंध में 3x2 का व्युत्पन्न 3ddx[x2] है.
3ddx[x2]+ddx[6x]+ddx[-5]
चरण 3.1.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn] nxn-1 है, जहाँ n=2 है.
3(2x)+ddx[6x]+ddx[-5]
चरण 3.1.2.3
2 को 3 से गुणा करें.
6x+ddx[6x]+ddx[-5]
6x+ddx[6x]+ddx[-5]
चरण 3.1.3
ddx[6x] का मान ज्ञात करें.
चरण 3.1.3.1
चूंकि 6, x के संबंध में स्थिर है, x के संबंध में 6x का व्युत्पन्न 6ddx[x] है.
6x+6ddx[x]+ddx[-5]
चरण 3.1.3.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn] nxn-1 है, जहाँ n=1 है.
6x+6⋅1+ddx[-5]
चरण 3.1.3.3
6 को 1 से गुणा करें.
6x+6+ddx[-5]
6x+6+ddx[-5]
चरण 3.1.4
स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.
चरण 3.1.4.1
चूंकि x के संबंध में -5 स्थिर है, x के संबंध में -5 का व्युत्पन्न 0 है.
6x+6+0
चरण 3.1.4.2
6x+6 और 0 जोड़ें.
f′(x)=6x+6
f′(x)=6x+6
f′(x)=6x+6
चरण 3.2
f(x) का पहला व्युत्पन्न बटे x, 6x+6 है.
6x+6
6x+6
चरण 4
चरण 4.1
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
मध्यवर्ती संकेतन:
(-∞,∞)
सेट-बिल्डर संकेतन:
{x|x∈ℝ}
चरण 4.2
f′(x) (-5,1) पर निरंतर है.
फलन निरंतर है.
फलन निरंतर है.
चरण 5
फलन (-5,1) पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न (-5,1) पर निरंतर है.
फलन अवकलनीय है.
चरण 6
f(x) माध्य मान प्रमेय के लिए दो शर्तों को पूरा करता है. यह [-5,1] पर निरंतर है और (-5,1) पर अवकलनीय है.
f(x), [-5,1] पर निरंतर है और (-5,1) पर अवकलनीय है.
चरण 7
चरण 7.1
व्यंजक में चर x को -5 से बदलें.
f(-5)=3(-5)2+6(-5)-5
चरण 7.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 7.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 7.2.1.1
-5 को 2 के घात तक बढ़ाएं.
f(-5)=3⋅25+6(-5)-5
चरण 7.2.1.2
3 को 25 से गुणा करें.
f(-5)=75+6(-5)-5
चरण 7.2.1.3
6 को -5 से गुणा करें.
f(-5)=75-30-5
f(-5)=75-30-5
चरण 7.2.2
संख्याओं को घटाकर सरल करें.
चरण 7.2.2.1
75 में से 30 घटाएं.
f(-5)=45-5
चरण 7.2.2.2
45 में से 5 घटाएं.
f(-5)=40
f(-5)=40
चरण 7.2.3
अंतिम उत्तर 40 है.
40
40
40
चरण 8
चरण 8.1
व्यंजक में चर x को 1 से बदलें.
f(1)=3(1)2+6(1)-5
चरण 8.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 8.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 8.2.1.1
एक का कोई भी घात एक होता है.
f(1)=3⋅1+6(1)-5
चरण 8.2.1.2
3 को 1 से गुणा करें.
f(1)=3+6(1)-5
चरण 8.2.1.3
6 को 1 से गुणा करें.
f(1)=3+6-5
f(1)=3+6-5
चरण 8.2.2
जोड़कर और घटाकर सरल करें.
चरण 8.2.2.1
3 और 6 जोड़ें.
f(1)=9-5
चरण 8.2.2.2
9 में से 5 घटाएं.
f(1)=4
f(1)=4
चरण 8.2.3
अंतिम उत्तर 4 है.
4
4
4
चरण 9
चरण 9.1
(4)-(40)(1)-(-5) को सरल करें.
चरण 9.1.1
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 9.1.1.1
-1 को 40 से गुणा करें.
6x+6=4-401-(-5)
चरण 9.1.1.2
4 में से 40 घटाएं.
6x+6=-361-(-5)
6x+6=-361-(-5)
चरण 9.1.2
भाजक को सरल करें.
चरण 9.1.2.1
-1 को -5 से गुणा करें.
6x+6=-361+5
चरण 9.1.2.2
1 और 5 जोड़ें.
6x+6=-366
6x+6=-366
चरण 9.1.3
-36 को 6 से विभाजित करें.
6x+6=-6
6x+6=-6
चरण 9.2
x वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.
चरण 9.2.1
समीकरण के दोनों पक्षों से 6 घटाएं.
6x=-6-6
चरण 9.2.2
-6 में से 6 घटाएं.
6x=-12
6x=-12
चरण 9.3
6x=-12 के प्रत्येक पद को 6 से भाग दें और सरल करें.
चरण 9.3.1
6x=-12 के प्रत्येक पद को 6 से विभाजित करें.
6x6=-126
चरण 9.3.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 9.3.2.1
6 का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 9.3.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
6x6=-126
चरण 9.3.2.1.2
x को 1 से विभाजित करें.
x=-126
x=-126
x=-126
चरण 9.3.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 9.3.3.1
-12 को 6 से विभाजित करें.
x=-2
x=-2
x=-2
x=-2
चरण 10
अंत बिंदुओं a=-5 और b=1 से गुजरने वाली रेखा के समानांतर x=-2 पर एक स्पर्शरेखा पता की जाती है.
अंतिम बिंदुओं a=-5 और b=1 से गुजरने वाली रेखा के समानांतर x=-2 पर एक स्पर्शरेखा है.
चरण 11
