कैलकुलस उदाहरण
,
चरण 1
यदि अंतराल पर निरंतर है और पर अवकलनीय है, तो अंतराल में कम से कम एक वास्तविक संख्या मौजूद है जैसे कि . माध्य मान प्रमेय पर वक्र के स्पर्शरेखा के ढलान और बिंदुओं और के माध्यम से रेखा के ढलान के बीच संबंध को व्यक्त करती है.
अगर पर निरन्तर है
और यदि पर अवकलनीय है,
तो : में कम से कम एक बिंदु मौजूद है.
चरण 2
चरण 2.1
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
मध्यवर्ती संकेतन:
सेट-बिल्डर संकेतन:
चरण 2.2
पर निरंतर है.
फलन निरंतर है.
फलन निरंतर है.
चरण 3
चरण 3.1
पहला व्युत्पन्न पता करें.
चरण 3.1.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.1.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 3.1.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.1.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 3.1.2.3
को से गुणा करें.
चरण 3.1.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 3.1.3.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.1.3.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 3.1.3.3
को से गुणा करें.
चरण 3.1.4
स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.
चरण 3.1.4.1
चूंकि के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.1.4.2
और जोड़ें.
चरण 3.2
का पहला व्युत्पन्न बटे , है.
चरण 4
चरण 4.1
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
मध्यवर्ती संकेतन:
सेट-बिल्डर संकेतन:
चरण 4.2
पर निरंतर है.
फलन निरंतर है.
फलन निरंतर है.
चरण 5
फलन पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न पर निरंतर है.
फलन अवकलनीय है.
चरण 6
माध्य मान प्रमेय के लिए दो शर्तों को पूरा करता है. यह पर निरंतर है और पर अवकलनीय है.
, पर निरंतर है और पर अवकलनीय है.
चरण 7
चरण 7.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 7.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 7.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 7.2.1.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 7.2.1.2
को से गुणा करें.
चरण 7.2.1.3
को से गुणा करें.
चरण 7.2.2
संख्याओं को घटाकर सरल करें.
चरण 7.2.2.1
में से घटाएं.
चरण 7.2.2.2
में से घटाएं.
चरण 7.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 8
चरण 8.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 8.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 8.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 8.2.1.1
एक का कोई भी घात एक होता है.
चरण 8.2.1.2
को से गुणा करें.
चरण 8.2.1.3
को से गुणा करें.
चरण 8.2.2
जोड़कर और घटाकर सरल करें.
चरण 8.2.2.1
और जोड़ें.
चरण 8.2.2.2
में से घटाएं.
चरण 8.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 9
चरण 9.1
को सरल करें.
चरण 9.1.1
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 9.1.1.1
को से गुणा करें.
चरण 9.1.1.2
में से घटाएं.
चरण 9.1.2
भाजक को सरल करें.
चरण 9.1.2.1
को से गुणा करें.
चरण 9.1.2.2
और जोड़ें.
चरण 9.1.3
को से विभाजित करें.
चरण 9.2
वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.
चरण 9.2.1
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं.
चरण 9.2.2
में से घटाएं.
चरण 9.3
के प्रत्येक पद को से भाग दें और सरल करें.
चरण 9.3.1
के प्रत्येक पद को से विभाजित करें.
चरण 9.3.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 9.3.2.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 9.3.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 9.3.2.1.2
को से विभाजित करें.
चरण 9.3.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 9.3.3.1
को से विभाजित करें.
चरण 10
अंत बिंदुओं और से गुजरने वाली रेखा के समानांतर पर एक स्पर्शरेखा पता की जाती है.
अंतिम बिंदुओं और से गुजरने वाली रेखा के समानांतर पर एक स्पर्शरेखा है.
चरण 11