कैलकुलस उदाहरण
f(x)=5x3-5x2
चरण 1
चरण 1.1
पहला व्युत्पन्न पता करें.
चरण 1.1.1
योग नियम के अनुसार, x के संबंध में 5x3-5x2 का व्युत्पन्न ddx[5x3]+ddx[-5x2] है.
ddx[5x3]+ddx[-5x2]
चरण 1.1.2
ddx[5x3] का मान ज्ञात करें.
चरण 1.1.2.1
चूंकि 5, x के संबंध में स्थिर है, x के संबंध में 5x3 का व्युत्पन्न 5ddx[x3] है.
5ddx[x3]+ddx[-5x2]
चरण 1.1.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn] nxn-1 है, जहाँ n=3 है.
5(3x2)+ddx[-5x2]
चरण 1.1.2.3
3 को 5 से गुणा करें.
15x2+ddx[-5x2]
15x2+ddx[-5x2]
चरण 1.1.3
ddx[-5x2] का मान ज्ञात करें.
चरण 1.1.3.1
चूंकि -5, x के संबंध में स्थिर है, x के संबंध में -5x2 का व्युत्पन्न -5ddx[x2] है.
15x2-5ddx[x2]
चरण 1.1.3.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn] nxn-1 है, जहाँ n=2 है.
15x2-5(2x)
चरण 1.1.3.3
2 को -5 से गुणा करें.
f′(x)=15x2-10x
f′(x)=15x2-10x
f′(x)=15x2-10x
चरण 1.2
दूसरा व्युत्पन्न पता करें.
चरण 1.2.1
योग नियम के अनुसार, x के संबंध में 15x2-10x का व्युत्पन्न ddx[15x2]+ddx[-10x] है.
ddx[15x2]+ddx[-10x]
चरण 1.2.2
ddx[15x2] का मान ज्ञात करें.
चरण 1.2.2.1
चूंकि 15, x के संबंध में स्थिर है, x के संबंध में 15x2 का व्युत्पन्न 15ddx[x2] है.
15ddx[x2]+ddx[-10x]
चरण 1.2.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn] nxn-1 है, जहाँ n=2 है.
15(2x)+ddx[-10x]
चरण 1.2.2.3
2 को 15 से गुणा करें.
30x+ddx[-10x]
30x+ddx[-10x]
चरण 1.2.3
ddx[-10x] का मान ज्ञात करें.
चरण 1.2.3.1
चूंकि -10, x के संबंध में स्थिर है, x के संबंध में -10x का व्युत्पन्न -10ddx[x] है.
30x-10ddx[x]
चरण 1.2.3.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn] nxn-1 है, जहाँ n=1 है.
30x-10⋅1
चरण 1.2.3.3
-10 को 1 से गुणा करें.
f′′(x)=30x-10
f′′(x)=30x-10
f′′(x)=30x-10
चरण 1.3
f(x) का दूसरा व्युत्पन्न बटे x, 30x-10 है.
30x-10
30x-10
चरण 2
चरण 2.1
दूसरे व्युत्पन्न को 0 के बराबर सेट करें.
30x-10=0
चरण 2.2
समीकरण के दोनों पक्षों में 10 जोड़ें.
30x=10
चरण 2.3
30x=10 के प्रत्येक पद को 30 से भाग दें और सरल करें.
चरण 2.3.1
30x=10 के प्रत्येक पद को 30 से विभाजित करें.
30x30=1030
चरण 2.3.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 2.3.2.1
30 का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 2.3.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
30x30=1030
चरण 2.3.2.1.2
x को 1 से विभाजित करें.
x=1030
x=1030
x=1030
चरण 2.3.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 2.3.3.1
10 और 30 के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 2.3.3.1.1
10 में से 10 का गुणनखंड करें.
x=10(1)30
चरण 2.3.3.1.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 2.3.3.1.2.1
30 में से 10 का गुणनखंड करें.
x=10⋅110⋅3
चरण 2.3.3.1.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
x=10⋅110⋅3
चरण 2.3.3.1.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
x=13
x=13
x=13
x=13
x=13
x=13
चरण 3
चरण 3.1
y का मान ज्ञात करने के लिए 13 को f(x)=5x3-5x2 में प्रतिस्थापित करें.
चरण 3.1.1
व्यंजक में चर x को 13 से बदलें.
f(13)=5(13)3-5(13)2
चरण 3.1.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 3.1.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 3.1.2.1.1
उत्पाद नियम को 13 पर लागू करें.
f(13)=5(1333)-5(13)2
चरण 3.1.2.1.2
एक का कोई भी घात एक होता है.
f(13)=5(133)-5(13)2
चरण 3.1.2.1.3
3 को 3 के घात तक बढ़ाएं.
f(13)=5(127)-5(13)2
चरण 3.1.2.1.4
5 और 127 को मिलाएं.
f(13)=527-5(13)2
चरण 3.1.2.1.5
उत्पाद नियम को 13 पर लागू करें.
f(13)=527-51232
चरण 3.1.2.1.6
एक का कोई भी घात एक होता है.
f(13)=527-5132
चरण 3.1.2.1.7
3 को 2 के घात तक बढ़ाएं.
f(13)=527-5(19)
चरण 3.1.2.1.8
-5 और 19 को मिलाएं.
f(13)=527+-59
चरण 3.1.2.1.9
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
f(13)=527-59
f(13)=527-59
चरण 3.1.2.2
-59 को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, 33 से गुणा करें.
f(13)=527-59⋅33
चरण 3.1.2.3
प्रत्येक व्यंजक को 27 के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को 1 के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.
चरण 3.1.2.3.1
59 को 33 से गुणा करें.
f(13)=527-5⋅39⋅3
चरण 3.1.2.3.2
9 को 3 से गुणा करें.
f(13)=527-5⋅327
f(13)=527-5⋅327
चरण 3.1.2.4
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
f(13)=5-5⋅327
चरण 3.1.2.5
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 3.1.2.5.1
-5 को 3 से गुणा करें.
f(13)=5-1527
चरण 3.1.2.5.2
5 में से 15 घटाएं.
f(13)=-1027
f(13)=-1027
चरण 3.1.2.6
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
f(13)=-1027
चरण 3.1.2.7
अंतिम उत्तर -1027 है.
-1027
-1027
-1027
चरण 3.2
13 को f(x)=5x3-5x2 में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु (13,-1027) है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.
(13,-1027)
(13,-1027)
चरण 4
(-∞,∞) को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.
(-∞,13)∪(13,∞)
चरण 5
चरण 5.1
व्यंजक में चर x को 0.2‾3 से बदलें.
f′′(0.2‾3)=30(0.2‾3)-10
चरण 5.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 5.2.1
30 को 0.2‾3 से गुणा करें.
f′′(0.2‾3)=7-10
चरण 5.2.2
7 में से 10 घटाएं.
f′′(0.2‾3)=-3
चरण 5.2.3
अंतिम उत्तर -3 है.
-3
-3
चरण 5.3
0.2‾3 पर, दूसरा व्युत्पन्न -3 है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल (-∞,13) पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है
f′′(x)<0 से (-∞,13) पर घटता हुआ
f′′(x)<0 से (-∞,13) पर घटता हुआ
चरण 6
चरण 6.1
व्यंजक में चर x को 0.4‾3 से बदलें.
f′′(0.4‾3)=30(0.4‾3)-10
चरण 6.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 6.2.1
30 को 0.4‾3 से गुणा करें.
f′′(0.4‾3)=13-10
चरण 6.2.2
13 में से 10 घटाएं.
f′′(0.4‾3)=3
चरण 6.2.3
अंतिम उत्तर 3 है.
3
3
चरण 6.3
0.4‾3 पर, दूसरा व्युत्पन्न 3 है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल (13,∞) पर बढ़ रहा है.
f′′(x)>0 के बाद से (13,∞) पर बढ़ रहा है
f′′(x)>0 के बाद से (13,∞) पर बढ़ रहा है
चरण 7
एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु (13,-1027) है.
(13,-1027)
चरण 8
