कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ , $[- 3, 4]$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} - 4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 1.1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

चरण 1.1.1.2.3

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $4 x^{3} - 8 x$ है.

$4 x^{3} - 8 x$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $4 x^{3} - 8 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$4 x^{3} - 8 x = 0$

चरण 1.2.2

$4 x^{3} - 8 x$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$4 x^{3}$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

चरण 1.2.2.2

$- 8 x$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

चरण 1.2.2.3

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

चरण 1.2.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 1.2.5

$x^{2} - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$x^{2} - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 2 = 0$

चरण 1.2.5.2

$x$ के लिए $x^{2} - 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x^{2} = 2$

चरण 1.2.5.2.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{2}$

चरण 1.2.5.2.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{2}$

चरण 1.2.5.2.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{2}$

चरण 1.2.5.2.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

चरण 1.2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $4 x (x^{2} - 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $x^{4} - 4 x^{2}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 - 4 {(0)}^{2}$

चरण 1.4.1.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 - 4 \cdot 0$

चरण 1.4.1.2.1.3

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 0$

चरण 1.4.1.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0$

चरण 1.4.2

$x = \sqrt{2}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$\sqrt{2}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1

${\sqrt{2}}^{4}$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.1.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.1.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.3.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

चरण 1.4.2.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

चरण 1.4.2.2.1.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

चरण 1.4.2.2.1.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

चरण 1.4.2.2.1.3.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$4 - 4 \cdot 2$

चरण 1.4.2.2.1.4

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$4 - 8$

चरण 1.4.2.2.2

$4$ में से $8$ घटाएं.

$- 4$

चरण 1.4.3

$x = - \sqrt{2}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$- \sqrt{2}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1.1

उत्पाद नियम को $- \sqrt{2}$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.3.2.1.2

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.3.2.1.3

${\sqrt{2}}^{4}$ को $1$ से गुणा करें.

${\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.3.2.1.4

${\sqrt{2}}^{4}$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1.4.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.3.2.1.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.3.2.1.4.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1.4.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.3.2.1.4.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1.4.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.3.2.1.4.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.3.2.1.4.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.3.2.1.4.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.3.2.1.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

चरण 1.4.3.2.1.6

उत्पाद नियम को $- \sqrt{2}$ पर लागू करें.

$4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

चरण 1.4.3.2.1.7

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

चरण 1.4.3.2.1.8

${\sqrt{2}}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

चरण 1.4.3.2.1.9

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1.9.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

चरण 1.4.3.2.1.9.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

चरण 1.4.3.2.1.9.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

चरण 1.4.3.2.1.9.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1.9.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

चरण 1.4.3.2.1.9.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

चरण 1.4.3.2.1.9.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$4 - 4 \cdot 2$

चरण 1.4.3.2.1.10

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$4 - 8$

चरण 1.4.3.2.2

$4$ में से $8$ घटाएं.

$- 4$

चरण 1.4.4

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = - 3$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- 3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{2}$

चरण 2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

$- 3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$81 - 4 {(- 3)}^{2}$

चरण 2.1.2.1.2

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$81 - 4 \cdot 9$

चरण 2.1.2.1.3

$- 4$ को $9$ से गुणा करें.

$81 - 36$

चरण 2.1.2.2

$81$ में से $36$ घटाएं.

$45$

चरण 2.2

$x = 4$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$4$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(4)}^{4} - 4 {(4)}^{2}$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$4$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$256 - 4 {(4)}^{2}$

चरण 2.2.2.1.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$256 - 4 \cdot 16$

चरण 2.2.2.1.3

$- 4$ को $16$ से गुणा करें.

$256 - 64$

चरण 2.2.2.2

$256$ में से $64$ घटाएं.

$192$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 3, 45), (4, 192)$

चरण 3

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(4, 192)$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

चरण 4

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