कैलकुलस उदाहरण
f(x)=-x5f(x)=−x5
चरण 1
चरण 1.1
दूसरा व्युत्पन्न पता करें.
चरण 1.1.1
पहला व्युत्पन्न पता करें.
चरण 1.1.1.1
चूंकि -1−1, xx के संबंध में स्थिर है, xx के संबंध में -x5−x5 का व्युत्पन्न -ddx[x5]−ddx[x5] है.
-ddx[x5]−ddx[x5]
चरण 1.1.1.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn]ddx[xn] nxn-1nxn−1 है, जहाँ n=5n=5 है.
-(5x4)−(5x4)
चरण 1.1.1.3
55 को -1−1 से गुणा करें.
f′(x)=-5x4f'(x)=−5x4
f′(x)=-5x4f'(x)=−5x4
चरण 1.1.2
दूसरा व्युत्पन्न पता करें.
चरण 1.1.2.1
चूंकि -5−5, xx के संबंध में स्थिर है, xx के संबंध में -5x4−5x4 का व्युत्पन्न -5ddx[x4]−5ddx[x4] है.
-5ddx[x4]−5ddx[x4]
चरण 1.1.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn]ddx[xn] nxn-1nxn−1 है, जहाँ n=4n=4 है.
-5(4x3)−5(4x3)
चरण 1.1.2.3
44 को -5−5 से गुणा करें.
f′′(x)=-20x3f''(x)=−20x3
f′′(x)=-20x3f''(x)=−20x3
चरण 1.1.3
f(x)f(x) का दूसरा व्युत्पन्न बटे xx, -20x3−20x3 है.
-20x3−20x3
-20x3−20x3
चरण 1.2
दूसरे व्युत्पन्न को 00 के बराबर सेट करें, फिर समीकरण -20x3=0−20x3=0 को हल करें.
चरण 1.2.1
दूसरे व्युत्पन्न को 00 के बराबर सेट करें.
-20x3=0−20x3=0
चरण 1.2.2
-20x3=0−20x3=0 के प्रत्येक पद को -20−20 से भाग दें और सरल करें.
चरण 1.2.2.1
-20x3=0−20x3=0 के प्रत्येक पद को -20−20 से विभाजित करें.
-20x3-20=0-20−20x3−20=0−20
चरण 1.2.2.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.2.2.2.1
-20−20 का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.2.2.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
-20x3-20=0-20
चरण 1.2.2.2.1.2
x3 को 1 से विभाजित करें.
x3=0-20
x3=0-20
x3=0-20
चरण 1.2.2.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.2.2.3.1
0 को -20 से विभाजित करें.
x3=0
x3=0
x3=0
चरण 1.2.3
बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I
x=3√0
चरण 1.2.4
3√0 को सरल करें.
चरण 1.2.4.1
0 को 03 के रूप में फिर से लिखें.
x=3√03
चरण 1.2.4.2
वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.
x=0
x=0
x=0
x=0
चरण 2
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
मध्यवर्ती संकेतन:
(-∞,∞)
सेट-बिल्डर संकेतन:
{x|x∈ℝ}
चरण 3
x-मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.
(-∞,0)∪(0,∞)
चरण 4
चरण 4.1
व्यंजक में चर x को -2 से बदलें.
f′′(-2)=-20(-2)3
चरण 4.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 4.2.1
-2 को 3 के घात तक बढ़ाएं.
f′′(-2)=-20⋅-8
चरण 4.2.2
-20 को -8 से गुणा करें.
f′′(-2)=160
चरण 4.2.3
अंतिम उत्तर 160 है.
160
160
चरण 4.3
अंतराल (-∞,0) पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि f′′(-2) धनात्मक है.
(-∞,0) को अवतल ऊपर है क्योंकि f′′(x) धनात्मक है
(-∞,0) को अवतल ऊपर है क्योंकि f′′(x) धनात्मक है
चरण 5
चरण 5.1
व्यंजक में चर x को 2 से बदलें.
f′′(2)=-20(2)3
चरण 5.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 5.2.1
2 को 3 के घात तक बढ़ाएं.
f′′(2)=-20⋅8
चरण 5.2.2
-20 को 8 से गुणा करें.
f′′(2)=-160
चरण 5.2.3
अंतिम उत्तर -160 है.
-160
-160
चरण 5.3
अंतराल (0,∞) पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि f′′(2) ऋणात्मक है.
(0,∞) पर अवतल नीचे है क्योंकि f′′(x) ऋणात्मक है
(0,∞) पर अवतल नीचे है क्योंकि f′′(x) ऋणात्मक है
चरण 6
जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.
(-∞,0) को अवतल ऊपर है क्योंकि f′′(x) धनात्मक है
(0,∞) पर अवतल नीचे है क्योंकि f′′(x) ऋणात्मक है
चरण 7
