कैलकुलस उदाहरण
f(x)=x3f(x)=x3
चरण 1
चरण 1.1
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn]ddx[xn] nxn-1nxn−1 है, जहाँ n=3n=3 है.
f′(x)=3x2f'(x)=3x2
चरण 1.2
f(x)f(x) का पहला व्युत्पन्न बटे xx, 3x23x2 है.
3x23x2
3x23x2
चरण 2
चरण 2.1
पहले व्युत्पन्न को 00 के बराबर सेट करें.
3x2=03x2=0
चरण 2.2
3x2=03x2=0 के प्रत्येक पद को 33 से भाग दें और सरल करें.
चरण 2.2.1
3x2=03x2=0 के प्रत्येक पद को 33 से विभाजित करें.
3x23=033x23=03
चरण 2.2.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 2.2.2.1
33 का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 2.2.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
3x23=03
चरण 2.2.2.1.2
x2 को 1 से विभाजित करें.
x2=03
x2=03
x2=03
चरण 2.2.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 2.2.3.1
0 को 3 से विभाजित करें.
x2=0
x2=0
x2=0
चरण 2.3
बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I
x=±√0
चरण 2.4
±√0 को सरल करें.
चरण 2.4.1
0 को 02 के रूप में फिर से लिखें.
x=±√02
चरण 2.4.2
धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.
x=±0
चरण 2.4.3
जोड़ या घटाव 0, 0 है.
x=0
x=0
x=0
चरण 3
वे मान जो व्युत्पन्न को 0 के बराबर बनाते हैं, वे 0 हैं.
0
चरण 4
उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न f′(x)=3x2 को 0 के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल f(x)=x3 कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है (-∞,0)∪(0,∞) है.
(-∞,0)∪(0,∞)
चरण 5
चरण 5.1
व्यंजक में चर x को -1 से बदलें.
f′(-1)=3(-1)2
चरण 5.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 5.2.1
-1 को 2 के घात तक बढ़ाएं.
f′(-1)=3⋅1
चरण 5.2.2
3 को 1 से गुणा करें.
f′(-1)=3
चरण 5.2.3
अंतिम उत्तर 3 है.
3
3
चरण 5.3
x=-1 पर व्युत्पन्न 3 है. चूंकि यह सकारात्मक है, (-∞,0) पर फलन बढ़ रहा है.
f′(x)>0 के बाद से (-∞,0) पर बढ़ रहा है
f′(x)>0 के बाद से (-∞,0) पर बढ़ रहा है
चरण 6
चरण 6.1
व्यंजक में चर x को 1 से बदलें.
f′(1)=3(1)2
चरण 6.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 6.2.1
एक का कोई भी घात एक होता है.
f′(1)=3⋅1
चरण 6.2.2
3 को 1 से गुणा करें.
f′(1)=3
चरण 6.2.3
अंतिम उत्तर 3 है.
3
3
चरण 6.3
x=1 पर व्युत्पन्न 3 है. चूंकि यह सकारात्मक है, (0,∞) पर फलन बढ़ रहा है.
f′(x)>0 के बाद से (0,∞) पर बढ़ रहा है
f′(x)>0 के बाद से (0,∞) पर बढ़ रहा है
चरण 7
उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.
बढ़ रहा है: (-∞,0),(0,∞)
चरण 8
