उदाहरण

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}]$

चरण 1

परिवर्तन का कर्नेल एक सदिश है जो परिवर्तन को शून्य सदिश (रूपांतरण की पूर्व-छवि) के बराबर बनाता है.

$[\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}] = 0$

चरण 2

सदिश समीकरण से समीकरणों की एक प्रणाली बनाएंँ.

$a - b - c = 0$

$a - b + c = 0$

$a + b + 5 c = 0$

चरण 3

सिस्टम को मैट्रिक्स के रूप में लिखें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

चरण 4

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 1 + 1 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

चरण 4.1.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

चरण 4.2

$3, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$3, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 1 & 5 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

चरण 4.2.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]$

चरण 4.3

$2, 2$ पर एक गैर-शून्य प्रविष्टि करने के लिए $R_{3}$ को $R_{2}$ से स्वैप करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

चरण 4.4

$2, 2$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$2, 2$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

चरण 4.4.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

चरण 4.5

$3, 3$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{3}$ के प्रत्येक तत्व को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$3, 3$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{3}$ के प्रत्येक तत्व को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

चरण 4.5.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 4.6

$2, 3$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$2, 3$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 4.6.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 4.7

$1, 3$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$1, 3$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 4.7.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 4.8

$1, 2$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

$1, 2$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 4.8.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 5

समीकरणों के निकाय का अंतिम समाधान घोषित करने के लिए परिणाम मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$a = 0$

$b = 0$

$c = 0$

चरण 6

प्रत्येक पंक्ति में मुक्त चरों के संदर्भ में हल करके एक समाधान सदिश लिखें.

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

चरण 7

समाधान सेट के रूप में लिखें.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

चरण 8

$S$ का अष्टि उप-स्थान ${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ है.

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

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