उदाहरण

(1, 2, 3)

$(1, 2, 3)$ ,

(2, 5, 6)

$(2, 5, 6)$ ,

(2, 9, 7)

$(2, 9, 7)$ ,

(3, 3, 3)

$(3, 3, 3)$

चरण 1

दिए गए बिंदु

C = (2, 9, 7)

$C = (2, 9, 7)$ और

D = (3, 3, 3)

$D = (3, 3, 3)$ , एक ऐसा तल खोजें जिसमें

A = (1, 2, 3)

$A = (1, 2, 3)$ और

B = (2, 5, 6)

$B = (2, 5, 6)$ हों जो रेखा

CD

$CD$ के समानांतर हों.

A = (1, 2, 3)

$A = (1, 2, 3)$

B = (2, 5, 6)

$B = (2, 5, 6)$

C = (2, 9, 7)

$C = (2, 9, 7)$

D = (3, 3, 3)

$D = (3, 3, 3)$

चरण 2

सबसे पहले, बिंदु

C

$C$ और

D

$D$ के माध्यम से रेखा के दिशा सदिश की गणना करें. यह बिंदु

C

$C$ के निर्देशांक मानों को लेकर और उन्हें बिंदु

D

$D$ से घटाकर किया जा सकता है.

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

चरण 3

x

$x$ ,

y

$y$ और

z

$z$ मानों को बदलें और फिर लाइन

CD

$CD$ के लिए दिशा सदिश

V_{CD}

$V_{CD}$ प्राप्त करने के लिए सरल करें.

V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩$

चरण 4

उसी विधि का उपयोग करके बिंदुओं

A

$A$ और

B

$B$ के माध्यम से एक रेखा के दिशा वेक्टर की गणना करें.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

चरण 5

x

$x$ ,

y

$y$ और

z

$z$ मानों को बदलें और फिर लाइन

AB

$AB$ के लिए दिशा सदिश

V_{AB}

$V_{AB}$ प्राप्त करने के लिए सरल करें.

V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩$

चरण 6

हल तल में एक रेखा होगी जिसमें

A

$A$ एवं

B

$B$ और दिशा सदिश

V_{A B}

$V_{A B}$ के बिंदु होंगे. यह तल रेखा

C D

$C D$ के समानांतर होने के लिए, समतल का अभिलंब सदिश ज्ञात कीजिए जो रेखा

C D

$C D$ के दिशा सदिश के लिए भी लंबकोणीय है. मैट्रिक्स

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ के सारणिक का पता लगाकर सदिश गुणनफल

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ को ढूंढकर सामान्य सदिश की गणना करें.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 1 & 3 & 3 1 & - 6 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & - 6 & - 4 \end{array}]$

चरण 7

सारणिक की गणना करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सर्वाधिक

0

$0$ तत्वों वाली पंक्ति या स्तंभ चुनें. यदि कोई

0

$0$ तत्व नहीं हैं तो कोई भी पंक्ति या कॉलम चुनें. पंक्ति

1

$1$ में प्रत्येक तत्व को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें और जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

संबंधित साइन चार्ट पर विचार करें.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 7.1.2

यदि संकेतक साइन चार्ट पर

-

$-$ की स्थिति से मेल खाते हैं तो कोफ़ैक्टर माइनर है, जिसके चिन्ह को बदल दिया गया है.

चरण 7.1.3

a_{11}

$a_{11}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति

1

$1$ और कॉलम

1

$1$ को हटा दिया गया है.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

चरण 7.1.4

तत्व

a_{11}

$a_{11}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

चरण 7.1.5

a_{12}

$a_{12}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति

1

$1$ और कॉलम

2

$2$ को हटा दिया गया है.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

चरण 7.1.6

तत्व

a_{12}

$a_{12}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j$

चरण 7.1.7

a_{13}

$a_{13}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति

1

$1$ और कॉलम

3

$3$ को हटा दिया गया है.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$

चरण 7.1.8

तत्व

a_{13}

$a_{13}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

चरण 7.1.9

पदों को एक साथ जोड़ें.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

चरण 7.2

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$i (3 \cdot - 4 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

चरण 7.2.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1

$3$ को

$- 4$ से गुणा करें.

$i (- 12 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

चरण 7.2.2.1.2

$- (- 6 \cdot 3)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.2.1

$- 6$ को

$3$ से गुणा करें.

$i (- 12 - - 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

चरण 7.2.2.1.2.2

$- 1$ को

$- 18$ से गुणा करें.

$i (- 12 + 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

चरण 7.2.2.2

$- 12$ और

$18$ जोड़ें.

$i \cdot 6 - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

चरण 7.3

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$i \cdot 6 - (1 \cdot - 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

चरण 7.3.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1.1

$- 4$ को

$1$ से गुणा करें.

$i \cdot 6 - (- 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

चरण 7.3.2.1.2

$- 1$ को

$3$ से गुणा करें.

$i \cdot 6 - (- 4 - 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

चरण 7.3.2.2

$- 4$ में से

$3$ घटाएं.

$i \cdot 6 - - 7 j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

चरण 7.4

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$i \cdot 6 - - 7 j + (1 \cdot - 6 - 1 \cdot 3) k$

चरण 7.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.1.1

$- 6$ को

$1$ से गुणा करें.

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 1 \cdot 3) k$

चरण 7.4.2.1.2

$- 1$ को

$3$ से गुणा करें.

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 3) k$

चरण 7.4.2.2

$- 6$ में से

$3$ घटाएं.

$i \cdot 6 - - 7 j - 9 k$

चरण 7.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$6$ को

$i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 \cdot i - - 7 j - 9 k$

चरण 7.5.2

$- 1$ को

$- 7$ से गुणा करें.

$6 i + 7 j - 9 k$

चरण 8

व्यंजक

$(6) x + (7) y + (- 9) z$ को बिंदु

$A$ पर हल करें क्योंकि यह समतल पर है. इसका उपयोग समतल के समीकरण में स्थिरांक की गणना के लिए किया जाता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$6$ को

$1$ से गुणा करें.

$6 + (7) \cdot 2 + (- 9) \cdot 3$

चरण 8.1.2

$7$ को

$2$ से गुणा करें.

$6 + 14 + (- 9) \cdot 3$

चरण 8.1.3

$- 9$ को

$3$ से गुणा करें.

$6 + 14 - 27$

चरण 8.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$6$ और

$14$ जोड़ें.

$20 - 27$

चरण 8.2.2

$20$ में से

$27$ घटाएं.

$- 7$

चरण 9

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$ समतल का समीकरण ज्ञात करने के लिए अचर जोड़ें.

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$

चरण 10

$- 9$ को

$z$ से गुणा करें.

$6 x + 7 y - 9 z = - 7$

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