उदाहरण | Factoring Polynomials | Find the Factors Using the Factor Theorem

चरण 1

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ को कृत्रिम विभाजन का उपयोग करके विभाजित करें और जांचें कि क्या शेष

$0$ के बराबर है. यदि शेष

$0$ के बराबर है, तो इसका अर्थ है कि

$x - 1$ ,

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ का एक गुणनखंड है. यदि शेष

$0$ के बराबर नहीं है, तो इसका मतलब है कि

$x - 1$ ,

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ का गुणनखंड नहीं है.

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चरण 1.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$

चरण 1.2

भाज्य

$(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$

	$1$

चरण 1.3

परिणाम

$(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक

$(1)$ से गुणा करें और

$(1)$ के परिणाम को भाज्य

$(- 2)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$
	$1$

चरण 1.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$
	$1$	$- 1$

चरण 1.5

परिणाम

$(- 1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक

$(1)$ से गुणा करें और

$(- 1)$ के परिणाम को भाज्य

$(- 10)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$
	$1$	$- 1$

चरण 1.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$
	$1$	$- 1$	$- 11$

चरण 1.7

परिणाम

$(- 11)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक

$(1)$ से गुणा करें और

$(- 11)$ के परिणाम को भाज्य

$(7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$
	$1$	$- 1$	$- 11$

चरण 1.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$
	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

चरण 1.9

परिणाम

$(- 4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक

$(1)$ से गुणा करें और

$(- 4)$ के परिणाम को भाज्य

$(4)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

चरण 1.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$	$0$

चरण 1.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4$

चरण 1.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

चरण 2

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ को विभाजित करने से शेषफल

$0$ है, जिसका अर्थ है कि

$x - 1$ ,

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ का एक गुणनखंड है.

$x - 1$ ,

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ के लिए एक गुणनखंड है

चरण 3

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ के लिए सभी संभावित मूल पता करें.

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चरण 3.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप

$\frac{p}{q}$ होगा, जहां

$p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और

$q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

चरण 3.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

चरण 4

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या

$x - 4$ बहुपद

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ का एक गुणनखंड है, अगला भाग सेट करें.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह बहुपद का एक गुणनखंड है, कृत्रिम विभाजन का उपयोग करके व्यंजक को विभाजित करें. चूँकि

$x - 4$ समान रूप से

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ में विभाजित होता है,

$x - 4$ बहुपद का एक गुणनखंड है और

$x^{2} + 3 x + 1$ का शेष बहुपद है.

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चरण 5.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

चरण 5.2

भाज्य

$(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

	$1$

चरण 5.3

परिणाम

$(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक

$(4)$ से गुणा करें और

$(4)$ के परिणाम को भाज्य

$(- 1)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$
	$1$

चरण 5.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$
	$1$	$3$

चरण 5.5

परिणाम

$(3)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक

$(4)$ से गुणा करें और

$(12)$ के परिणाम को भाज्य

$(- 11)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$
	$1$	$3$

चरण 5.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$
	$1$	$3$	$1$

चरण 5.7

परिणाम

$(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक

$(4)$ से गुणा करें और

$(4)$ के परिणाम को भाज्य

$(- 4)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$	$4$
	$1$	$3$	$1$

चरण 5.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$	$4$
	$1$	$3$	$1$	$0$

चरण 5.9

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{2} + 3 x + 1$

चरण 5.10

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{2} + 3 x + 1$

चरण 6

$x^{2} + 3 x + 1$ के लिए सभी संभावित मूल पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप

$\frac{p}{q}$ होगा, जहां

$p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और

$q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

चरण 6.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1$

चरण 7

अंतिम गुणनखंड कृत्रिम विभाजन से बचा हुआ एकमात्र गुणनखंड है.

$x^{2} + 3 x + 1$

चरण 8

गुणनखंडित बहुपद

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$ है.

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$