उदाहरण

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ होगा, जहां

p

$p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और

q

$q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

p = \pm 1, \pm 9, \pm 3

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

चरण 1.2

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

\pm 1, \pm 9, \pm 3

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

चरण 1.3

3

$3$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक

0

$0$ के बराबर है, इसलिए

3

$3$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

3

$3$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9

$3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9$

चरण 1.3.2

3

$3$ को

3

$3$ के घात तक बढ़ाएं.

27 - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9$

चरण 1.3.3

3

$3$ को

2

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

27 - 6 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 6 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 9$

चरण 1.3.4

- 6

$- 6$ को

9

$9$ से गुणा करें.

27 - 54 + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 54 + 12 \cdot 3 - 9$

चरण 1.3.5

27

$27$ में से

54

$54$ घटाएं.

- 27 + 12 \cdot 3 - 9

$- 27 + 12 \cdot 3 - 9$

चरण 1.3.6

12

$12$ को

3

$3$ से गुणा करें.

- 27 + 36 - 9

$- 27 + 36 - 9$

चरण 1.3.7

- 27

$- 27$ और

36

$36$ जोड़ें.

9 - 9

$9 - 9$

चरण 1.3.8

9

$9$ में से

9

$9$ घटाएं.

0

$0$

0

$0$

चरण 1.4

चूँकि

3

$3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को

x - 3

$x - 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9}{x - 3}

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9}{x - 3}$

चरण 1.5

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ को

x - 3

$x - 3$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो

0

$0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

x

$x$

3

$3$

x^{3}

$x^{3}$

6 x^{2}

$6 x^{2}$

12 x

$12 x$

9

$9$

चरण 1.5.2

भाज्य

x^{3}

$x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक

x

$x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए

x^{3} - 3 x^{2}

$x^{3} - 3 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

चरण 1.5.7

भाज्य

- 3 x^{2}

$- 3 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक

x

$x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$9 x$ $9 x$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए

- 3 x^{2} + 9 x

$- 3 x^{2} + 9 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$

चरण 1.5.10

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$

चरण 1.5.12

भाज्य

3 x

$3 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक

x

$x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए

3 x - 9

$3 x - 9$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$
							-	$3 x$ $3 x$	+	$9$ $9$

चरण 1.5.15

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$
							-	$3 x$ $3 x$	+	$9$ $9$
										$0$ $0$

चरण 1.5.16

Since the remainder is

0

$0$ , the final answer is the quotient.

x^{2} - 3 x + 3

$x^{2} - 3 x + 3$

x^{2} - 3 x + 3

$x^{2} - 3 x + 3$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ लिखें.

(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)

$(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)$

(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)

$(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)$

चरण 2

चूंकि बहुपद का गुणनखंड किया जा सकता है, यह अभाज्य नहीं है.

अभाज्य संख्या नहीं

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