उदाहरण

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

चरण 1

अभिलाक्षणिक मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अभिलक्षणिक समीकरण $p (λ)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.

$p (λ) = सारणिक (A - λ I_{2})$

चरण 1.2

सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स $2$ $2 \times 2$ वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

चरण 1.3

ज्ञात मानों को $p (λ) = सारणिक (A - λ I_{2})$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$ को $A$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

चरण 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ को $I_{2}$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $- λ$ को गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.2.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.2.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.3.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.3.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

चरण 1.4.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

चरण 1.4.3

Simplify each element.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

चरण 1.4.3.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

चरण 1.5

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$p (λ) = (4 - λ) (1 - λ) - 3 \cdot 2$

चरण 1.5.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(4 - λ) (1 - λ)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = 4 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

चरण 1.5.2.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

चरण 1.5.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

चरण 1.5.2.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.2.1.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

चरण 1.5.2.1.2.1.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

चरण 1.5.2.1.2.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

चरण 1.5.2.1.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

चरण 1.5.2.1.2.1.5

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.2.1.5.1

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

चरण 1.5.2.1.2.1.5.2

$λ$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

चरण 1.5.2.1.2.1.6

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

चरण 1.5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

चरण 1.5.2.1.2.2

$- 4 λ$ में से $λ$ घटाएं.

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

चरण 1.5.2.1.3

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

चरण 1.5.2.2

$4$ में से $6$ घटाएं.

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

चरण 1.5.2.3

$- 5 λ$ और $λ^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

चरण 1.6

आइगेन मान $λ$ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को $0$ के बराबर सेट करें.

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

चरण 1.7

$λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 1.7.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 5$ और $c = - 2$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $λ$ के लिए हल करें.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1.1

$- 5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.7.3.1.2.2

$- 4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.7.3.1.3

$25$ और $8$ जोड़ें.

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.7.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

चरण 1.7.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

चरण 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

चरण 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ को गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2.2

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.2.2.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2.2.2

$0$ को $\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2.3

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.2.3.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2.3.2

$0$ को $\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3

Simplify each element.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$4$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.2

$4$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.4.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.4.3

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.4.4

$8$ में से $5$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.5

$2$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.6

$3$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.7

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.9.2

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.9.3

$2$ में से $5$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.10

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.11

$- \sqrt{33}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.12

$- 1 (3) - (\sqrt{33})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

चरण 3.2.3.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 3.3

Find the null space when $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2.1.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 (- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2.2.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

चरण 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} + \frac{y \sqrt{33}}{6} \\ y \end{array}]$

चरण 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

चरण 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

चरण 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

चरण 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ को गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

चरण 4.2.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

चरण 4.2.1.2.2

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.2.2.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

चरण 4.2.1.2.2.2

$0$ को $\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

चरण 4.2.1.2.3

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.2.3.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

चरण 4.2.1.2.3.2

$0$ को $\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

चरण 4.2.1.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3

Simplify each element.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$4$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.2

$4$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.4.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.4.3

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.4.4

$- - \sqrt{33}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.4.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.4.4.2

$\sqrt{33}$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.4.5

$8$ में से $5$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.5

$2$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.6

$3$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.7

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.9.2

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.9.3

$- - \sqrt{33}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.9.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.9.3.2

$\sqrt{33}$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.9.4

$2$ में से $5$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.10

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.11

$\sqrt{33}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.12

$- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

चरण 4.2.3.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

चरण 4.3

Find the null space when $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2.1.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 (- \frac{3 - \sqrt{33}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2.2.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

चरण 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} - \frac{y \sqrt{33}}{6} \\ y \end{array}]$

चरण 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

चरण 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

चरण 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

चरण 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

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