एलजेब्रा उदाहरण

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

चरण 1

प्रत्येक सदिश के लिए एक नाम निर्धारित करें.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

चरण 2

दिए गए सदिश के सेट में पहला लांबिक सदिश पहला सदिश है.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

चरण 3

अन्य लांबिक सदिश ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

चरण 4

लांबिक सदिश ${v⃗}_{2}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

${v⃗}_{2}$ ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें.

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

चरण 4.2

$(0, 1, 1)$ को ${u⃗}_{2}$ से प्रतिस्थापित करें.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

चरण 4.3

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

डॉट गुणन पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

दो सदिशों का अदिश गुणनफल उनके घटकों के गुणन का योग है.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

चरण 4.3.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.2.1.1

$0$ को $1$ से गुणा करें.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

चरण 4.3.1.2.1.2

$1$ को $1$ से गुणा करें.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

चरण 4.3.1.2.1.3

$1$ को $1$ से गुणा करें.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

चरण 4.3.1.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

चरण 4.3.1.2.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

चरण 4.3.2

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ का प्रसामान्य ज्ञात कीजिए.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

चरण 4.3.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

चरण 4.3.2.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

चरण 4.3.2.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

चरण 4.3.2.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

चरण 4.3.2.2.5

$2$ और $1$ जोड़ें.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

चरण 4.3.3

प्रक्षेपण सूत्र का उपयोग करके ${u⃗}_{2}$ का ${v⃗}_{1}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

चरण 4.3.4

$2$ को ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ से प्रतिस्थापित करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

चरण 4.3.5

$\sqrt{3}$ को $| | {v⃗}_{1} | |$ से प्रतिस्थापित करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

चरण 4.3.6

$(1, 1, 1)$ को ${v⃗}_{1}$ से प्रतिस्थापित करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

चरण 4.3.7

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

चरण 4.3.7.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

चरण 4.3.7.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

चरण 4.3.7.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

चरण 4.3.7.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

चरण 4.3.7.1.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

चरण 4.3.7.2

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $\frac{2}{3}$ को गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

चरण 4.3.7.3

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.3.1

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

चरण 4.3.7.3.2

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

चरण 4.3.7.3.3

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

चरण 4.4

प्रक्षेपण को प्रतिस्थापित करें.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

चरण 4.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

वेक्टर के प्रत्येक घटक को जोड़ें.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

चरण 4.5.2

$0$ में से $\frac{2}{3}$ घटाएं.

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

चरण 4.5.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

चरण 4.5.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

चरण 4.5.5

$3$ में से $2$ घटाएं.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

चरण 4.5.6

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

चरण 4.5.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

चरण 4.5.8

$3$ में से $2$ घटाएं.

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

चरण 5

प्रत्येक लांबिक सदिश को उसके प्रसामान्य से विभाजित करके ऑर्थोनॉर्मल आधार ज्ञात करें.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

चरण 6

मात्रक सदिश $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ ज्ञात करें जहां ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

सदिश $v⃗$ के समान दिशा में एक मात्रक सदिश ज्ञात करने के लिए, $v⃗$ के प्रसामान्य से विभाजित करें.

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

चरण 6.2

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

चरण 6.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

चरण 6.3.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

चरण 6.3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\sqrt{2 + 1}$

चरण 6.3.5

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\sqrt{3}$

चरण 6.4

सदिश को उसके प्रसामान्य से विभाजित करें.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

चरण 6.5

सदिश के प्रत्येक अंश को $\sqrt{3}$ से विभाजित करें.

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

चरण 7

मात्रक सदिश $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ ज्ञात करें जहां ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

चरण 7.2

मानक वेक्टर में प्रत्येक तत्व के वर्गों के योग का वर्गमूल है.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{2}{3}$ पर लागू करें.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 7.3.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{2}{3}$ पर लागू करें.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 7.3.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 7.3.3

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 7.3.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 7.3.5

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 7.3.6

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 7.3.7

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 7.3.8

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

चरण 7.3.9

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

चरण 7.3.10

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

चरण 7.3.11

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

चरण 7.3.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

चरण 7.3.13

$4$ और $1$ जोड़ें.

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

चरण 7.3.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

चरण 7.3.15

$5$ और $1$ जोड़ें.

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

चरण 7.3.16

$6$ और $9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.16.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

चरण 7.3.16.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.16.2.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

चरण 7.3.16.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

चरण 7.3.16.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

चरण 7.3.17

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

चरण 7.4

सदिश को उसके प्रसामान्य से विभाजित करें.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

चरण 7.5

सदिश के प्रत्येक अंश को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ से विभाजित करें.

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

चरण 7.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

चरण 7.6.2

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

चरण 7.6.3

$2$ को $\sqrt{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

चरण 7.6.4

$3$ को $\sqrt{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

चरण 7.6.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

चरण 7.6.6

$\frac{1}{3}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

चरण 7.6.7

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

चरण 7.6.8

$\frac{1}{3}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

चरण 8

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

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