एलजेब्रा उदाहरण
A=[350750110]A=⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦
चरण 1
चरण 1.1
अभिलक्षणिक समीकरण p(λ)p(λ) ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.
p(λ)=सारणिक(A-λI3)p(λ)=सारणिक(A−λI3)
चरण 1.2
सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स 33 3×33×3 वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.
[100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦
चरण 1.3
ज्ञात मानों को p(λ)=सारणिक(A-λI3)p(λ)=सारणिक(A−λI3) में प्रतिस्थापित करें.
चरण 1.3.1
[350750110]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦ को AA से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]-λI3)p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦−λI3⎞⎟⎠
चरण 1.3.2
[100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦ को I3I3 से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]-λ[100010001])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦−λ⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=सारणिक([350750110]-λ[100010001])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦−λ⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4
सरल करें.
चरण 1.4.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.4.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -λ−λ को गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 1.4.1.2.1
-1−1 को 11 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2.2
-λ⋅0−λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.2.1
00 को -1−1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2.2.2
00 को λλ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2.3
-λ⋅0−λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.3.1
00 को -1−1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00λ−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2.3.2
00 को λλ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2.4
-λ⋅0−λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.4.1
00 को -1−1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000λ−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2.4.2
00 को λλ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2.5
-1−1 को 11 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2.6
-λ⋅0−λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.6.1
00 को -1−1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2.6.2
00 को λλ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2.7
-λ⋅0−λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.7.1
00 को -1−1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00λ−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2.7.2
00 को λλ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2.8
-λ⋅0−λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.8.1
00 को -1−1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000λ−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2.8.2
00 को λλ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ000-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ000-λ⋅1])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.1.2.9
-1−1 को 11 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ000-λ])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ000-λ])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=सारणिक([350750110]+[-λ000-λ000-λ])p(λ)=सारणिक⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 1.4.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[3-λ5+00+07+05-λ0+01+01+00-λ]p(λ)=सारणिक⎡⎢⎣3−λ5+00+07+05−λ0+01+01+00−λ⎤⎥⎦
चरण 1.4.3
प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.
चरण 1.4.3.1
55 और 00 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[3-λ50+07+05-λ0+01+01+00-λ]p(λ)=सारणिक⎡⎢⎣3−λ50+07+05−λ0+01+01+00−λ⎤⎥⎦
चरण 1.4.3.2
00 और 00 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[3-λ507+05-λ0+01+01+00-λ]p(λ)=सारणिक⎡⎢⎣3−λ507+05−λ0+01+01+00−λ⎤⎥⎦
चरण 1.4.3.3
77 और 00 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[3-λ5075-λ0+01+01+00-λ]p(λ)=सारणिक⎡⎢⎣3−λ5075−λ0+01+01+00−λ⎤⎥⎦
चरण 1.4.3.4
00 और 00 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[3-λ5075-λ01+01+00-λ]p(λ)=सारणिक⎡⎢⎣3−λ5075−λ01+01+00−λ⎤⎥⎦
चरण 1.4.3.5
11 और 00 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[3-λ5075-λ011+00-λ]p(λ)=सारणिक⎡⎢⎣3−λ5075−λ011+00−λ⎤⎥⎦
चरण 1.4.3.6
11 और 00 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[3-λ5075-λ0110-λ]p(λ)=सारणिक⎡⎢⎣3−λ5075−λ0110−λ⎤⎥⎦
चरण 1.4.3.7
00 में से λλ घटाएं.
p(λ)=सारणिक[3-λ5075-λ011-λ]p(λ)=सारणिक⎡⎢⎣3−λ5075−λ011−λ⎤⎥⎦
p(λ)=सारणिक[3-λ5075-λ011-λ]p(λ)=सारणिक⎡⎢⎣3−λ5075−λ011−λ⎤⎥⎦
p(λ)=सारणिक[3-λ5075-λ011-λ]p(λ)=सारणिक⎡⎢⎣3−λ5075−λ011−λ⎤⎥⎦
चरण 1.5
सारणिक पता करें.
चरण 1.5.1
सर्वाधिक 00 तत्वों वाली पंक्ति या स्तंभ चुनें. यदि कोई 00 तत्व नहीं हैं तो कोई भी पंक्ति या कॉलम चुनें. कॉलम 33 में प्रत्येक तत्व को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें और जोड़ें.
चरण 1.5.1.1
संबंधित साइन चार्ट पर विचार करें.
|+-+-+-+-+|∣∣
∣∣+−+−+−+−+∣∣
∣∣
चरण 1.5.1.2
यदि संकेतक साइन चार्ट पर -− की स्थिति से मेल खाते हैं तो कोफ़ैक्टर माइनर है, जिसके चिन्ह को बदल दिया गया है.
चरण 1.5.1.3
a13a13 के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति 11 और कॉलम 33 को हटा दिया गया है.
|75-λ11|∣∣∣75−λ11∣∣∣
चरण 1.5.1.4
तत्व a13a13 को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.
0|75-λ11|0∣∣∣75−λ11∣∣∣
चरण 1.5.1.5
a23a23 के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति 22 और कॉलम 33 को हटा दिया गया है.
|3-λ511|∣∣∣3−λ511∣∣∣
चरण 1.5.1.6
तत्व a23a23 को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.
0|3-λ511|0∣∣∣3−λ511∣∣∣
चरण 1.5.1.7
a33a33 के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति 33 और कॉलम 33 को हटा दिया गया है.
|3-λ575-λ|∣∣∣3−λ575−λ∣∣∣
चरण 1.5.1.8
तत्व a33a33 को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.
-λ|3-λ575-λ|−λ∣∣∣3−λ575−λ∣∣∣
चरण 1.5.1.9
पदों को एक साथ जोड़ें.
p(λ)=0|75-λ11|+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|p(λ)=0∣∣∣75−λ11∣∣∣+0∣∣∣3−λ511∣∣∣−λ∣∣∣3−λ575−λ∣∣∣
p(λ)=0|75-λ11|+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|p(λ)=0∣∣∣75−λ11∣∣∣+0∣∣∣3−λ511∣∣∣−λ∣∣∣3−λ575−λ∣∣∣
चरण 1.5.2
00 को |75-λ11|∣∣∣75−λ11∣∣∣ से गुणा करें.
p(λ)=0+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|p(λ)=0+0∣∣∣3−λ511∣∣∣−λ∣∣∣3−λ575−λ∣∣∣
चरण 1.5.3
00 को |3-λ511|∣∣∣3−λ511∣∣∣ से गुणा करें.
p(λ)=0+0-λ|3-λ575-λ|p(λ)=0+0−λ∣∣∣3−λ575−λ∣∣∣
चरण 1.5.4
|3-λ575-λ|∣∣∣3−λ575−λ∣∣∣ का मान ज्ञात करें.
चरण 1.5.4.1
2×22×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
p(λ)=0+0-λ((3-λ)(5-λ)-7⋅5)p(λ)=0+0−λ((3−λ)(5−λ)−7⋅5)
चरण 1.5.4.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 1.5.4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.4.2.1.1
FOIL विधि का उपयोग करके (3-λ)(5-λ)(3−λ)(5−λ) का प्रसार करें.
चरण 1.5.4.2.1.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=0+0-λ(3(5-λ)-λ(5-λ)-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(3(5−λ)−λ(5−λ)−7⋅5)
चरण 1.5.4.2.1.1.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ(5-λ)-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(3⋅5+3(−λ)−λ(5−λ)−7⋅5)
चरण 1.5.4.2.1.1.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(3⋅5+3(−λ)−λ⋅5−λ(−λ)−7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(3⋅5+3(−λ)−λ⋅5−λ(−λ)−7⋅5)
चरण 1.5.4.2.1.2
समान पदों को सरल और संयोजित करें.
चरण 1.5.4.2.1.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.4.2.1.2.1.1
33 को 55 से गुणा करें.
p(λ)=0+0-λ(15+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(15+3(−λ)−λ⋅5−λ(−λ)−7⋅5)
चरण 1.5.4.2.1.2.1.2
-1−1 को 33 से गुणा करें.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(15−3λ−λ⋅5−λ(−λ)−7⋅5)
चरण 1.5.4.2.1.2.1.3
55 को -1−1 से गुणा करें.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-λ(-λ)-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(15−3λ−5λ−λ(−λ)−7⋅5)
चरण 1.5.4.2.1.2.1.4
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ⋅λ-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(15−3λ−5λ−1⋅−1λ⋅λ−7⋅5)
चरण 1.5.4.2.1.2.1.5
घातांक जोड़कर λλ को λλ से गुणा करें.
चरण 1.5.4.2.1.2.1.5.1
λλ ले जाएं.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1(λ⋅λ)-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(15−3λ−5λ−1⋅−1(λ⋅λ)−7⋅5)
चरण 1.5.4.2.1.2.1.5.2
λλ को λλ से गुणा करें.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ2-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(15−3λ−5λ−1⋅−1λ2−7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ2-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(15−3λ−5λ−1⋅−1λ2−7⋅5)
चरण 1.5.4.2.1.2.1.6
-1−1 को -1−1 से गुणा करें.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+1λ2-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(15−3λ−5λ+1λ2−7⋅5)
चरण 1.5.4.2.1.2.1.7
λ2λ2 को 11 से गुणा करें.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+λ2-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(15−3λ−5λ+λ2−7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+λ2-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(15−3λ−5λ+λ2−7⋅5)
चरण 1.5.4.2.1.2.2
-3λ−3λ में से 5λ5λ घटाएं.
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(15−8λ+λ2−7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-7⋅5)p(λ)=0+0−λ(15−8λ+λ2−7⋅5)
चरण 1.5.4.2.1.3
-7−7 को 55 से गुणा करें.
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-35)p(λ)=0+0−λ(15−8λ+λ2−35)
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-35)p(λ)=0+0−λ(15−8λ+λ2−35)
चरण 1.5.4.2.2
1515 में से 3535 घटाएं.
p(λ)=0+0-λ(-8λ+λ2-20)p(λ)=0+0−λ(−8λ+λ2−20)
चरण 1.5.4.2.3
-8λ−8λ और λ2λ2 को पुन: क्रमित करें.
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)p(λ)=0+0−λ(λ2−8λ−20)
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)p(λ)=0+0−λ(λ2−8λ−20)
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)p(λ)=0+0−λ(λ2−8λ−20)
चरण 1.5.5
सारणिक को सरल करें.
चरण 1.5.5.1
0+0-λ(λ2-8λ-20)0+0−λ(λ2−8λ−20) में विपरीत पदों को मिलाएं.
चरण 1.5.5.1.1
00 और 00 जोड़ें.
p(λ)=0-λ(λ2-8λ-20)p(λ)=0−λ(λ2−8λ−20)
चरण 1.5.5.1.2
00 में से λ(λ2-8λ-20)λ(λ2−8λ−20) घटाएं.
p(λ)=-λ(λ2-8λ-20)p(λ)=−λ(λ2−8λ−20)
p(λ)=-λ(λ2-8λ-20)p(λ)=−λ(λ2−8λ−20)
चरण 1.5.5.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=-λ⋅λ2-λ(-8λ)-λ⋅-20p(λ)=−λ⋅λ2−λ(−8λ)−λ⋅−20
चरण 1.5.5.3
सरल करें.
चरण 1.5.5.3.1
घातांक जोड़कर λλ को λ2λ2 से गुणा करें.
चरण 1.5.5.3.1.1
λ2λ2 ले जाएं.
p(λ)=-(λ2λ)-λ(-8λ)-λ⋅-20p(λ)=−(λ2λ)−λ(−8λ)−λ⋅−20
चरण 1.5.5.3.1.2
λ2λ2 को λλ से गुणा करें.
चरण 1.5.5.3.1.2.1
λλ को 11 के घात तक बढ़ाएं.
p(λ)=-(λ2λ1)-λ(-8λ)-λ⋅-20p(λ)=−(λ2λ1)−λ(−8λ)−λ⋅−20
चरण 1.5.5.3.1.2.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम aman=am+naman=am+n का उपयोग करें.
p(λ)=-λ2+1-λ(-8λ)-λ⋅-20p(λ)=−λ2+1−λ(−8λ)−λ⋅−20
p(λ)=-λ2+1-λ(-8λ)-λ⋅-20p(λ)=−λ2+1−λ(−8λ)−λ⋅−20
चरण 1.5.5.3.1.3
22 और 11 जोड़ें.
p(λ)=-λ3-λ(-8λ)-λ⋅-20p(λ)=−λ3−λ(−8λ)−λ⋅−20
p(λ)=-λ3-λ(-8λ)-λ⋅-20p(λ)=−λ3−λ(−8λ)−λ⋅−20
चरण 1.5.5.3.2
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ-λ⋅-20p(λ)=−λ3−1⋅−8λ⋅λ−λ⋅−20
चरण 1.5.5.3.3
-20−20 को -1−1 से गुणा करें.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ+20λp(λ)=−λ3−1⋅−8λ⋅λ+20λ
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ+20λp(λ)=−λ3−1⋅−8λ⋅λ+20λ
चरण 1.5.5.4
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.5.4.1
घातांक जोड़कर λλ को λλ से गुणा करें.
चरण 1.5.5.4.1.1
λλ ले जाएं.
p(λ)=-λ3-1⋅-8(λ⋅λ)+20λp(λ)=−λ3−1⋅−8(λ⋅λ)+20λ
चरण 1.5.5.4.1.2
λλ को λλ से गुणा करें.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ2+20λp(λ)=−λ3−1⋅−8λ2+20λ
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ2+20λp(λ)=−λ3−1⋅−8λ2+20λ
चरण 1.5.5.4.2
-1−1 को -8−8 से गुणा करें.
p(λ)=-λ3+8λ2+20λp(λ)=−λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λp(λ)=−λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λp(λ)=−λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λp(λ)=−λ3+8λ2+20λ
चरण 1.6
आइगेन मान λλ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को 00 के बराबर सेट करें.
-λ3+8λ2+20λ=0−λ3+8λ2+20λ=0
चरण 1.7
λλ के लिए हल करें.
चरण 1.7.1
समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.
चरण 1.7.1.1
-λ3+8λ2+20λ−λ3+8λ2+20λ में से -λ−λ का गुणनखंड करें.
चरण 1.7.1.1.1
-λ3−λ3 में से -λ−λ का गुणनखंड करें.
-λ⋅λ2+8λ2+20λ=0−λ⋅λ2+8λ2+20λ=0
चरण 1.7.1.1.2
8λ28λ2 में से -λ−λ का गुणनखंड करें.
-λ⋅λ2-λ(-8λ)+20λ=0−λ⋅λ2−λ(−8λ)+20λ=0
चरण 1.7.1.1.3
20λ20λ में से -λ−λ का गुणनखंड करें.
-λ⋅λ2-λ(-8λ)-λ⋅-20=0−λ⋅λ2−λ(−8λ)−λ⋅−20=0
चरण 1.7.1.1.4
-λ(λ2)-λ(-8λ)−λ(λ2)−λ(−8λ) में से -λ−λ का गुणनखंड करें.
-λ(λ2-8λ)-λ⋅-20=0−λ(λ2−8λ)−λ⋅−20=0
चरण 1.7.1.1.5
-λ(λ2-8λ)-λ(-20)−λ(λ2−8λ)−λ(−20) में से -λ−λ का गुणनखंड करें.
-λ(λ2-8λ-20)=0−λ(λ2−8λ−20)=0
-λ(λ2-8λ-20)=0−λ(λ2−8λ−20)=0
चरण 1.7.1.2
गुणनखंड करें.
चरण 1.7.1.2.1
AC विधि का उपयोग करके λ2-8λ-20λ2−8λ−20 का गुणनखंड करें.
चरण 1.7.1.2.1.1
x2+bx+cx2+bx+c के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल cc है और जिसका योग bb है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल -20−20 है और जिसका योग -8−8 है.
-10,2−10,2
चरण 1.7.1.2.1.2
इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.
-λ((λ-10)(λ+2))=0−λ((λ−10)(λ+2))=0
-λ((λ-10)(λ+2))=0−λ((λ−10)(λ+2))=0
चरण 1.7.1.2.2
अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.
-λ(λ-10)(λ+2)=0−λ(λ−10)(λ+2)=0
-λ(λ-10)(λ+2)=0−λ(λ−10)(λ+2)=0
-λ(λ-10)(λ+2)=0−λ(λ−10)(λ+2)=0
चरण 1.7.2
यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड 00 के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक 00 के बराबर होगा.
λ=0λ=0
λ-10=0λ−10=0
λ+2=0λ+2=0
चरण 1.7.3
λλ को 00 के बराबर सेट करें.
λ=0λ=0
चरण 1.7.4
λ-10λ−10 को 00 के बराबर सेट करें और λλ के लिए हल करें.
चरण 1.7.4.1
λ-10λ−10 को 00 के बराबर सेट करें.
λ-10=0λ−10=0
चरण 1.7.4.2
समीकरण के दोनों पक्षों में 1010 जोड़ें.
λ=10λ=10
λ=10λ=10
चरण 1.7.5
λ+2λ+2 को 00 के बराबर सेट करें और λλ के लिए हल करें.
चरण 1.7.5.1
λ+2λ+2 को 00 के बराबर सेट करें.
λ+2=0λ+2=0
चरण 1.7.5.2
समीकरण के दोनों पक्षों से 22 घटाएं.
λ=-2λ=−2
λ=-2λ=−2
चरण 1.7.6
अंतिम हल वो सभी मान हैं जो -λ(λ-10)(λ+2)=0−λ(λ−10)(λ+2)=0 को सिद्ध करते हैं.
λ=0,10,-2λ=0,10,−2
λ=0,10,-2λ=0,10,−2
λ=0,10,-2λ=0,10,−2
चरण 2
ईजेनवेक्टर मैट्रिक्स के शून्य स्थान के बराबर है, सर्वसमिका मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू गुणा को घटाता है जहां NN रिक्त स्थान है और II सर्वसमिका मैट्रिक्स है.
εA=N(A-λI3)εA=N(A−λI3)
चरण 3
चरण 3.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
N([350750110]+0[100010001])N⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+0⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 3.2
सरल करें.
चरण 3.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 3.2.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से 00 को गुणा करें.
[350750110]+[0⋅10⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣0⋅10⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1⎤⎥⎦
चरण 3.2.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 3.2.1.2.1
00 को 11 से गुणा करें.
[350750110]+[00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1⎤⎥⎦
चरण 3.2.1.2.2
00 को 00 से गुणा करें.
[350750110]+[000⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣000⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1⎤⎥⎦
चरण 3.2.1.2.3
00 को 00 से गुणा करें.
[350750110]+[0000⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣0000⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1⎤⎥⎦
चरण 3.2.1.2.4
00 को 00 से गुणा करें.
[350750110]+[00000⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣00000⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1⎤⎥⎦
चरण 3.2.1.2.5
00 को 11 से गुणा करें.
[350750110]+[000000⋅00⋅00⋅00⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣000000⋅00⋅00⋅00⋅1⎤⎥⎦
चरण 3.2.1.2.6
00 को 00 से गुणा करें.
[350750110]+[0000000⋅00⋅00⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣0000000⋅00⋅00⋅1⎤⎥⎦
चरण 3.2.1.2.7
00 को 00 से गुणा करें.
[350750110]+[00000000⋅00⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣00000000⋅00⋅1⎤⎥⎦
चरण 3.2.1.2.8
00 को 00 से गुणा करें.
[350750110]+[000000000⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣000000000⋅1⎤⎥⎦
चरण 3.2.1.2.9
00 को 11 से गुणा करें.
[350750110]+[000000000]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣000000000⎤⎥⎦
[350750110]+[000000000]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣000000000⎤⎥⎦
[350750110]+[000000000]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣000000000⎤⎥⎦
चरण 3.2.2
किसी भी मैट्रिक्स को रिक्त मैट्रिक्स में जोड़ने पर वही मैट्रिक्स आता है.
चरण 3.2.2.1
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
[3+05+00+07+05+00+01+01+00+0]⎡⎢⎣3+05+00+07+05+00+01+01+00+0⎤⎥⎦
चरण 3.2.2.2
प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.
चरण 3.2.2.2.1
33 और 00 जोड़ें.
[35+00+07+05+00+01+01+00+0]⎡⎢⎣35+00+07+05+00+01+01+00+0⎤⎥⎦
चरण 3.2.2.2.2
55 और 00 जोड़ें.
[350+07+05+00+01+01+00+0]⎡⎢⎣350+07+05+00+01+01+00+0⎤⎥⎦
चरण 3.2.2.2.3
00 और 00 जोड़ें.
[3507+05+00+01+01+00+0]⎡⎢⎣3507+05+00+01+01+00+0⎤⎥⎦
चरण 3.2.2.2.4
77 और 00 जोड़ें.
[35075+00+01+01+00+0]⎡⎢⎣35075+00+01+01+00+0⎤⎥⎦
चरण 3.2.2.2.5
55 और 00 जोड़ें.
[350750+01+01+00+0]⎡⎢⎣350750+01+01+00+0⎤⎥⎦
चरण 3.2.2.2.6
00 और 00 जोड़ें.
[3507501+01+00+0]⎡⎢⎣3507501+01+00+0⎤⎥⎦
चरण 3.2.2.2.7
11 और 00 जोड़ें.
[35075011+00+0]⎡⎢⎣35075011+00+0⎤⎥⎦
चरण 3.2.2.2.8
11 और 00 जोड़ें.
[350750110+0]⎡⎢⎣350750110+0⎤⎥⎦
चरण 3.2.2.2.9
00 और 00 जोड़ें.
[350750110]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦
[350750110]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦
[350750110]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦
[350750110]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦
चरण 3.3
λ=0λ=0 होने पर रिक्त स्थान पता करें.
चरण 3.3.1
Ax=0Ax=0 के लिए संवर्धित मैट्रिक्स के रूप में लिखें.
[350075001100]⎡⎢
⎢⎣350075001100⎤⎥
⎥⎦
चरण 3.3.2
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 3.3.2.1
1,11,1 की प्रविष्टि को 11 बनाने के लिए R1R1 के प्रत्येक तत्व को 1313 से गुणा करें.
चरण 3.3.2.1.1
1,11,1 की प्रविष्टि को 11 बनाने के लिए R1R1 के प्रत्येक तत्व को 1313 से गुणा करें.
[3353030375001100]⎡⎢
⎢⎣3353030375001100⎤⎥
⎥⎦
चरण 3.3.2.1.2
R1R1 को सरल करें.
[1530075001100]⎡⎢
⎢⎣1530075001100⎤⎥
⎥⎦
[1530075001100]⎡⎢
⎢⎣1530075001100⎤⎥
⎥⎦
चरण 3.3.2.2
2,12,1 पर प्रविष्टि को 00 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-7R1R2=R2−7R1 करें.
चरण 3.3.2.2.1
2,12,1 पर प्रविष्टि को 00 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-7R1R2=R2−7R1 करें.
[153007-7⋅15-7(53)0-7⋅00-7⋅01100]⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣153007−7⋅15−7(53)0−7⋅00−7⋅01100⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦
चरण 3.3.2.2.2
R2R2 को सरल करें.
[153000-203001100]⎡⎢
⎢
⎢⎣153000−203001100⎤⎥
⎥
⎥⎦
[153000-203001100]⎡⎢
⎢
⎢⎣153000−203001100⎤⎥
⎥
⎥⎦
चरण 3.3.2.3
3,13,1 पर प्रविष्टि को 00 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3-R1R3=R3−R1 करें.
चरण 3.3.2.3.1
3,13,1 पर प्रविष्टि को 00 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3-R1R3=R3−R1 करें.
[153000-203001-11-530-00-0]⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣153000−203001−11−530−00−0⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦
चरण 3.3.2.3.2
R3R3 को सरल करें.
[153000-203000-2300]⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣153000−203000−2300⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[153000-203000-2300]⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣153000−203000−2300⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦
चरण 3.3.2.4
2,22,2 की प्रविष्टि को 11 बनाने के लिए R2R2 के प्रत्येक तत्व को -320−320 से गुणा करें.
चरण 3.3.2.4.1
2,22,2 की प्रविष्टि को 11 बनाने के लिए R2R2 के प्रत्येक तत्व को -320−320 से गुणा करें.
[15300-320⋅0-320(-203)-320⋅0-320⋅00-2300]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣15300−320⋅0−320(−203)−320⋅0−320⋅00−2300⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
चरण 3.3.2.4.2
R2R2 को सरल करें.
[1530001000-2300]⎡⎢
⎢
⎢⎣1530001000−2300⎤⎥
⎥
⎥⎦
[1530001000-2300]⎡⎢
⎢
⎢⎣1530001000−2300⎤⎥
⎥
⎥⎦
चरण 3.3.2.5
3,23,2 पर प्रविष्टि को 00 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3+23R2R3=R3+23R2 करें.
चरण 3.3.2.5.1
3,23,2 पर प्रविष्टि को 00 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3+23R2R3=R3+23R2 करें.
[1530001000+23⋅0-23+23⋅10+23⋅00+23⋅0]⎡⎢
⎢
⎢⎣1530001000+23⋅0−23+23⋅10+23⋅00+23⋅0⎤⎥
⎥
⎥⎦
चरण 3.3.2.5.2
R3R3 को सरल करें.
[1530001000000]⎡⎢
⎢⎣1530001000000⎤⎥
⎥⎦
[1530001000000]⎡⎢
⎢⎣1530001000000⎤⎥
⎥⎦
चरण 3.3.2.6
1,21,2 पर प्रविष्टि को 00 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R1=R1-53R2R1=R1−53R2 करें.
चरण 3.3.2.6.1
1,21,2 पर प्रविष्टि को 00 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R1=R1-53R2R1=R1−53R2 करें.
[1-53⋅053-53⋅10-53⋅00-53⋅001000000]⎡⎢
⎢⎣1−53⋅053−53⋅10−53⋅00−53⋅001000000⎤⎥
⎥⎦
चरण 3.3.2.6.2
R1R1 को सरल करें.
[100001000000]⎡⎢
⎢⎣100001000000⎤⎥
⎥⎦
[100001000000]⎡⎢
⎢⎣100001000000⎤⎥
⎥⎦
[100001000000]⎡⎢
⎢⎣100001000000⎤⎥
⎥⎦
चरण 3.3.3
समीकरणों के निकाय का अंतिम समाधान घोषित करने के लिए परिणाम मैट्रिक्स का उपयोग करें.
x=0x=0
y=0y=0
0=00=0
चरण 3.3.4
प्रत्येक पंक्ति में मुक्त चरों के संदर्भ में हल करके एक समाधान सदिश लिखें.
[xyz]=[00z]⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦=⎡⎢⎣00z⎤⎥⎦
चरण 3.3.5
समाधान को सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखें.
[xyz]=z[001]⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦=z⎡⎢⎣001⎤⎥⎦
चरण 3.3.6
समाधान सेट के रूप में लिखें.
{z[001]|z∈R}⎧⎪⎨⎪⎩z⎡⎢⎣001⎤⎥⎦∣∣
∣∣z∈R⎫⎪⎬⎪⎭
चरण 3.3.7
समाधान सिस्टम के मुक्त चर से बनाएं गए सदिश का सेट है.
{[001]}⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣001⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭
{[001]}⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣001⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭
{[001]}⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣001⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭
चरण 4
चरण 4.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
N([350750110]-10[100010001])N⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦−10⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
चरण 4.2
सरल करें.
चरण 4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 4.2.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -10−10 को गुणा करें.
[350750110]+[-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−10⋅1−10⋅0−10⋅0−10⋅0−10⋅1−10⋅0−10⋅0−10⋅0−10⋅1⎤⎥⎦
चरण 4.2.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 4.2.1.2.1
-10−10 को 11 से गुणा करें.
[350750110]+[-10-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−10−10⋅0−10⋅0−10⋅0−10⋅1−10⋅0−10⋅0−10⋅0−10⋅1⎤⎥⎦
चरण 4.2.1.2.2
-10−10 को 00 से गुणा करें.
[350750110]+[-100-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−100−10⋅0−10⋅0−10⋅1−10⋅0−10⋅0−10⋅0−10⋅1⎤⎥⎦
चरण 4.2.1.2.3
-10−10 को 00 से गुणा करें.
[350750110]+[-1000-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−1000−10⋅0−10⋅1−10⋅0−10⋅0−10⋅0−10⋅1⎤⎥⎦
चरण 4.2.1.2.4
-10−10 को 00 से गुणा करें.
[350750110]+[-10000-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−10000−10⋅1−10⋅0−10⋅0−10⋅0−10⋅1⎤⎥⎦
चरण 4.2.1.2.5
-10−10 को 11 से गुणा करें.
[350750110]+[-10000-10-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−10000−10−10⋅0−10⋅0−10⋅0−10⋅1⎤⎥⎦
चरण 4.2.1.2.6
-10−10 को 00 से गुणा करें.
[350750110]+[-10000-100-10⋅0-10⋅0-10⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−10000−100−10⋅0−10⋅0−10⋅1⎤⎥⎦
चरण 4.2.1.2.7
-10−10 को 00 से गुणा करें.
[350750110]+[-10000-1000-10⋅0-10⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−10000−1000−10⋅0−10⋅1⎤⎥⎦
चरण 4.2.1.2.8
-10−10 को 00 से गुणा करें.
[350750110]+[-10000-10000-10⋅1]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−10000−10000−10⋅1⎤⎥⎦
चरण 4.2.1.2.9
-10−10 को 11 से गुणा करें.
[350750110]+[-10000-10000-10]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−10000−10000−10⎤⎥⎦
[350750110]+[-10000-10000-10]
[350750110]+[-10000-10000-10]
चरण 4.2.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
[3-105+00+07+05-100+01+01+00-10]
चरण 4.2.3
प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.
चरण 4.2.3.1
3 में से 10 घटाएं.
[-75+00+07+05-100+01+01+00-10]
चरण 4.2.3.2
5 और 0 जोड़ें.
[-750+07+05-100+01+01+00-10]
चरण 4.2.3.3
0 और 0 जोड़ें.
[-7507+05-100+01+01+00-10]
चरण 4.2.3.4
7 और 0 जोड़ें.
[-75075-100+01+01+00-10]
चरण 4.2.3.5
5 में से 10 घटाएं.
[-7507-50+01+01+00-10]
चरण 4.2.3.6
0 और 0 जोड़ें.
[-7507-501+01+00-10]
चरण 4.2.3.7
1 और 0 जोड़ें.
[-7507-5011+00-10]
चरण 4.2.3.8
1 और 0 जोड़ें.
[-7507-50110-10]
चरण 4.2.3.9
0 में से 10 घटाएं.
[-7507-5011-10]
[-7507-5011-10]
[-7507-5011-10]
चरण 4.3
λ=10 होने पर रिक्त स्थान पता करें.
चरण 4.3.1
Ax=0 के लिए संवर्धित मैट्रिक्स के रूप में लिखें.
[-75007-50011-100]
चरण 4.3.2
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 4.3.2.1
1,1 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R1 के प्रत्येक तत्व को -17 से गुणा करें.
चरण 4.3.2.1.1
1,1 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R1 के प्रत्येक तत्व को -17 से गुणा करें.
[-17⋅-7-17⋅5-17⋅0-17⋅07-50011-100]
चरण 4.3.2.1.2
R1 को सरल करें.
[1-57007-50011-100]
[1-57007-50011-100]
चरण 4.3.2.2
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-7R1 करें.
चरण 4.3.2.2.1
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-7R1 करें.
[1-57007-7⋅1-5-7(-57)0-7⋅00-7⋅011-100]
चरण 4.3.2.2.2
R2 को सरल करें.
[1-5700000011-100]
[1-5700000011-100]
चरण 4.3.2.3
3,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3-R1 करें.
चरण 4.3.2.3.1
3,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3-R1 करें.
[1-570000001-11+57-10-00-0]
चरण 4.3.2.3.2
R3 को सरल करें.
[1-570000000127-100]
[1-570000000127-100]
चरण 4.3.2.4
2,2 पर एक गैर-शून्य प्रविष्टि करने के लिए R3 को R2 से स्वैप करें.
[1-57000127-1000000]
चरण 4.3.2.5
2,2 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R2 के प्रत्येक तत्व को 712 से गुणा करें.
चरण 4.3.2.5.1
2,2 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R2 के प्रत्येक तत्व को 712 से गुणा करें.
[1-5700712⋅0712⋅127712⋅-10712⋅00000]
चरण 4.3.2.5.2
R2 को सरल करें.
[1-570001-35600000]
[1-570001-35600000]
चरण 4.3.2.6
1,2 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R1=R1+57R2 करें.
चरण 4.3.2.6.1
1,2 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R1=R1+57R2 करें.
[1+57⋅0-57+57⋅10+57(-356)0+57⋅001-35600000]
चरण 4.3.2.6.2
R1 को सरल करें.
[10-256001-35600000]
[10-256001-35600000]
[10-256001-35600000]
चरण 4.3.3
समीकरणों के निकाय का अंतिम समाधान घोषित करने के लिए परिणाम मैट्रिक्स का उपयोग करें.
x-256z=0
y-356z=0
0=0
चरण 4.3.4
प्रत्येक पंक्ति में मुक्त चरों के संदर्भ में हल करके एक समाधान सदिश लिखें.
[xyz]=[25z635z6z]
चरण 4.3.5
समाधान को सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखें.
[xyz]=z[2563561]
चरण 4.3.6
समाधान सेट के रूप में लिखें.
{z[2563561]|z∈R}
चरण 4.3.7
समाधान सिस्टम के मुक्त चर से बनाएं गए सदिश का सेट है.
{[2563561]}
{[2563561]}
{[2563561]}
चरण 5
चरण 5.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
N([350750110]+2[100010001])
चरण 5.2
सरल करें.
चरण 5.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.2.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से 2 को गुणा करें.
[350750110]+[2⋅12⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
चरण 5.2.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 5.2.1.2.1
2 को 1 से गुणा करें.
[350750110]+[22⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
चरण 5.2.1.2.2
2 को 0 से गुणा करें.
[350750110]+[202⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
चरण 5.2.1.2.3
2 को 0 से गुणा करें.
[350750110]+[2002⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
चरण 5.2.1.2.4
2 को 0 से गुणा करें.
[350750110]+[20002⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
चरण 5.2.1.2.5
2 को 1 से गुणा करें.
[350750110]+[200022⋅02⋅02⋅02⋅1]
चरण 5.2.1.2.6
2 को 0 से गुणा करें.
[350750110]+[2000202⋅02⋅02⋅1]
चरण 5.2.1.2.7
2 को 0 से गुणा करें.
[350750110]+[20002002⋅02⋅1]
चरण 5.2.1.2.8
2 को 0 से गुणा करें.
[350750110]+[200020002⋅1]
चरण 5.2.1.2.9
2 को 1 से गुणा करें.
[350750110]+[200020002]
[350750110]+[200020002]
[350750110]+[200020002]
चरण 5.2.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
[3+25+00+07+05+20+01+01+00+2]
चरण 5.2.3
प्रत्येक तत्व को स्पष्ट करें.
चरण 5.2.3.1
3 और 2 जोड़ें.
[55+00+07+05+20+01+01+00+2]
चरण 5.2.3.2
5 और 0 जोड़ें.
[550+07+05+20+01+01+00+2]
चरण 5.2.3.3
0 और 0 जोड़ें.
[5507+05+20+01+01+00+2]
चरण 5.2.3.4
7 और 0 जोड़ें.
[55075+20+01+01+00+2]
चरण 5.2.3.5
5 और 2 जोड़ें.
[550770+01+01+00+2]
चरण 5.2.3.6
0 और 0 जोड़ें.
[5507701+01+00+2]
चरण 5.2.3.7
1 और 0 जोड़ें.
[55077011+00+2]
चरण 5.2.3.8
1 और 0 जोड़ें.
[550770110+2]
चरण 5.2.3.9
0 और 2 जोड़ें.
[550770112]
[550770112]
[550770112]
चरण 5.3
λ=-2 होने पर रिक्त स्थान पता करें.
चरण 5.3.1
Ax=0 के लिए संवर्धित मैट्रिक्स के रूप में लिखें.
[550077001120]
चरण 5.3.2
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 5.3.2.1
1,1 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R1 के प्रत्येक तत्व को 15 से गुणा करें.
चरण 5.3.2.1.1
1,1 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R1 के प्रत्येक तत्व को 15 से गुणा करें.
[5555050577001120]
चरण 5.3.2.1.2
R1 को सरल करें.
[110077001120]
[110077001120]
चरण 5.3.2.2
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-7R1 करें.
चरण 5.3.2.2.1
2,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R2=R2-7R1 करें.
[11007-7⋅17-7⋅10-7⋅00-7⋅01120]
चरण 5.3.2.2.2
R2 को सरल करें.
[110000001120]
[110000001120]
चरण 5.3.2.3
3,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3-R1 करें.
चरण 5.3.2.3.1
3,1 पर प्रविष्टि को 0 बनाने के लिए पंक्ति संचालन R3=R3-R1 करें.
[110000001-11-12-00-0]
चरण 5.3.2.3.2
R3 को सरल करें.
[110000000020]
[110000000020]
चरण 5.3.2.4
2,3 पर एक गैर-शून्य प्रविष्टि करने के लिए R3 को R2 से स्वैप करें.
[110000200000]
चरण 5.3.2.5
2,3 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R2 के प्रत्येक तत्व को 12 से गुणा करें.
चरण 5.3.2.5.1
2,3 की प्रविष्टि को 1 बनाने के लिए R2 के प्रत्येक तत्व को 12 से गुणा करें.
[1100020222020000]
चरण 5.3.2.5.2
R2 को सरल करें.
[110000100000]
[110000100000]
[110000100000]
चरण 5.3.3
समीकरणों के निकाय का अंतिम समाधान घोषित करने के लिए परिणाम मैट्रिक्स का उपयोग करें.
x+y=0
z=0
0=0
चरण 5.3.4
प्रत्येक पंक्ति में मुक्त चरों के संदर्भ में हल करके एक समाधान सदिश लिखें.
[xyz]=[-yy0]
चरण 5.3.5
समाधान को सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखें.
[xyz]=y[-110]
चरण 5.3.6
समाधान सेट के रूप में लिखें.
{y[-110]|y∈R}
चरण 5.3.7
समाधान सिस्टम के मुक्त चर से बनाएं गए सदिश का सेट है.
{[-110]}
{[-110]}
{[-110]}
चरण 6
A का का आइगेनस्पेस प्रत्येक अभिलाक्षणिक मान के लिए सदिश स्पेस की सूची है.
{[001],[2563561],[-110]}
