एलजेब्रा उदाहरण
[3246][3246]
चरण 1
अभिलक्षणिक समीकरण p(λ)p(λ) ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.
p(λ)=सारणिक(A-λI2)p(λ)=सारणिक(A−λI2)
चरण 2
सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स 22 2×22×2 वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.
[1001][1001]
चरण 3
चरण 3.1
[3246][3246] को AA से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([3246]-λI2)p(λ)=सारणिक([3246]−λI2)
चरण 3.2
[1001][1001] को I2I2 से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([3246]-λ[1001])p(λ)=सारणिक([3246]−λ[1001])
p(λ)=सारणिक([3246]-λ[1001])p(λ)=सारणिक([3246]−λ[1001])
चरण 4
चरण 4.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 4.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -λ−λ को गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([3246]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक([3246]+[−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1])
चरण 4.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 4.1.2.1
-1−1 को 11 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([3246]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक([3246]+[−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1])
चरण 4.1.2.2
-λ⋅0−λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.2.1
00 को -1−1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([3246]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक([3246]+[−λ0λ−λ⋅0−λ⋅1])
चरण 4.1.2.2.2
00 को λλ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([3246]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक([3246]+[−λ0−λ⋅0−λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([3246]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=सारणिक([3246]+[−λ0−λ⋅0−λ⋅1])
चरण 4.1.2.3
-λ⋅0−λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.3.1
00 को -1−1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([3246]+[-λ00λ-λ⋅1])p(λ)=सारणिक([3246]+[−λ00λ−λ⋅1])
चरण 4.1.2.3.2
00 को λλ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([3246]+[-λ00-λ⋅1])p(λ)=सारणिक([3246]+[−λ00−λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([3246]+[-λ00-λ⋅1])p(λ)=सारणिक([3246]+[−λ00−λ⋅1])
चरण 4.1.2.4
-1−1 को 11 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([3246]+[-λ00-λ])p(λ)=सारणिक([3246]+[−λ00−λ])
p(λ)=सारणिक([3246]+[-λ00-λ])p(λ)=सारणिक([3246]+[−λ00−λ])
p(λ)=सारणिक([3246]+[-λ00-λ])p(λ)=सारणिक([3246]+[−λ00−λ])
चरण 4.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[3-λ2+04+06-λ]p(λ)=सारणिक[3−λ2+04+06−λ]
चरण 4.3
Simplify each element.
चरण 4.3.1
22 और 00 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[3-λ24+06-λ]p(λ)=सारणिक[3−λ24+06−λ]
चरण 4.3.2
44 और 00 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[3-λ246-λ]p(λ)=सारणिक[3−λ246−λ]
p(λ)=सारणिक[3-λ246-λ]p(λ)=सारणिक[3−λ246−λ]
p(λ)=सारणिक[3-λ246-λ]p(λ)=सारणिक[3−λ246−λ]
चरण 5
चरण 5.1
2×22×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
p(λ)=(3-λ)(6-λ)-4⋅2p(λ)=(3−λ)(6−λ)−4⋅2
चरण 5.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 5.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.2.1.1
FOIL विधि का उपयोग करके (3-λ)(6-λ)(3−λ)(6−λ) का प्रसार करें.
चरण 5.2.1.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=3(6-λ)-λ(6-λ)-4⋅2p(λ)=3(6−λ)−λ(6−λ)−4⋅2
चरण 5.2.1.1.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=3⋅6+3(-λ)-λ(6-λ)-4⋅2p(λ)=3⋅6+3(−λ)−λ(6−λ)−4⋅2
चरण 5.2.1.1.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=3⋅6+3(-λ)-λ⋅6-λ(-λ)-4⋅2p(λ)=3⋅6+3(−λ)−λ⋅6−λ(−λ)−4⋅2
p(λ)=3⋅6+3(-λ)-λ⋅6-λ(-λ)-4⋅2p(λ)=3⋅6+3(−λ)−λ⋅6−λ(−λ)−4⋅2
चरण 5.2.1.2
समान पदों को सरल और संयोजित करें.
चरण 5.2.1.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.2.1.2.1.1
33 को 66 से गुणा करें.
p(λ)=18+3(-λ)-λ⋅6-λ(-λ)-4⋅2p(λ)=18+3(−λ)−λ⋅6−λ(−λ)−4⋅2
चरण 5.2.1.2.1.2
-1−1 को 33 से गुणा करें.
p(λ)=18-3λ-λ⋅6-λ(-λ)-4⋅2p(λ)=18−3λ−λ⋅6−λ(−λ)−4⋅2
चरण 5.2.1.2.1.3
66 को -1−1 से गुणा करें.
p(λ)=18-3λ-6λ-λ(-λ)-4⋅2p(λ)=18−3λ−6λ−λ(−λ)−4⋅2
चरण 5.2.1.2.1.4
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=18-3λ-6λ-1⋅-1λ⋅λ-4⋅2p(λ)=18−3λ−6λ−1⋅−1λ⋅λ−4⋅2
चरण 5.2.1.2.1.5
घातांक जोड़कर λλ को λλ से गुणा करें.
चरण 5.2.1.2.1.5.1
λλ ले जाएं.
p(λ)=18-3λ-6λ-1⋅-1(λ⋅λ)-4⋅2p(λ)=18−3λ−6λ−1⋅−1(λ⋅λ)−4⋅2
चरण 5.2.1.2.1.5.2
λλ को λλ से गुणा करें.
p(λ)=18-3λ-6λ-1⋅-1λ2-4⋅2p(λ)=18−3λ−6λ−1⋅−1λ2−4⋅2
p(λ)=18-3λ-6λ-1⋅-1λ2-4⋅2p(λ)=18−3λ−6λ−1⋅−1λ2−4⋅2
चरण 5.2.1.2.1.6
-1−1 को -1−1 से गुणा करें.
p(λ)=18-3λ-6λ+1λ2-4⋅2p(λ)=18−3λ−6λ+1λ2−4⋅2
चरण 5.2.1.2.1.7
λ2λ2 को 11 से गुणा करें.
p(λ)=18-3λ-6λ+λ2-4⋅2p(λ)=18−3λ−6λ+λ2−4⋅2
p(λ)=18-3λ-6λ+λ2-4⋅2p(λ)=18−3λ−6λ+λ2−4⋅2
चरण 5.2.1.2.2
-3λ−3λ में से 6λ6λ घटाएं.
p(λ)=18-9λ+λ2-4⋅2p(λ)=18−9λ+λ2−4⋅2
p(λ)=18-9λ+λ2-4⋅2p(λ)=18−9λ+λ2−4⋅2
चरण 5.2.1.3
-4−4 को 22 से गुणा करें.
p(λ)=18-9λ+λ2-8p(λ)=18−9λ+λ2−8
p(λ)=18-9λ+λ2-8p(λ)=18−9λ+λ2−8
चरण 5.2.2
1818 में से 88 घटाएं.
p(λ)=-9λ+λ2+10p(λ)=−9λ+λ2+10
चरण 5.2.3
-9λ−9λ और λ2λ2 को पुन: क्रमित करें.
p(λ)=λ2-9λ+10p(λ)=λ2−9λ+10
p(λ)=λ2-9λ+10p(λ)=λ2−9λ+10
p(λ)=λ2-9λ+10p(λ)=λ2−9λ+10
चरण 6
आइगेन मान λλ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को 00 के बराबर सेट करें.
λ2-9λ+10=0λ2−9λ+10=0
चरण 7
चरण 7.1
हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.
-b±√b2-4(ac)2a−b±√b2−4(ac)2a
चरण 7.2
द्विघात सूत्र में a=1a=1, b=-9b=−9 और c=10c=10 मानों को प्रतिस्थापित करें और λλ के लिए हल करें.
9±√(-9)2-4⋅(1⋅10)2⋅19±√(−9)2−4⋅(1⋅10)2⋅1
चरण 7.3
सरल करें.
चरण 7.3.1
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 7.3.1.1
-9−9 को 22 के घात तक बढ़ाएं.
λ=9±√81-4⋅1⋅102⋅1λ=9±√81−4⋅1⋅102⋅1
चरण 7.3.1.2
-4⋅1⋅10−4⋅1⋅10 गुणा करें.
चरण 7.3.1.2.1
-4−4 को 11 से गुणा करें.
λ=9±√81-4⋅102⋅1λ=9±√81−4⋅102⋅1
चरण 7.3.1.2.2
-4−4 को 1010 से गुणा करें.
λ=9±√81-402⋅1λ=9±√81−402⋅1
λ=9±√81-402⋅1λ=9±√81−402⋅1
चरण 7.3.1.3
8181 में से 4040 घटाएं.
λ=9±√412⋅1λ=9±√412⋅1
λ=9±√412⋅1λ=9±√412⋅1
चरण 7.3.2
22 को 11 से गुणा करें.
λ=9±√412λ=9±√412
λ=9±√412λ=9±√412
चरण 7.4
अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.
λ=9+√412,9-√412λ=9+√412,9−√412
λ=9+√412,9-√412λ=9+√412,9−√412
चरण 8
परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.
सटीक रूप:
λ=9+√412,9-√412λ=9+√412,9−√412
दशमलव रूप:
λ=7.70156211…,1.29843788…λ=7.70156211…,1.29843788…
