एलजेब्रा उदाहरण

4 x - y = 2

$4 x - y = 2$ ,

6 x - 2 y = - 1

$6 x - 2 y = - 1$

चरण 1

समतल

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ और समतल

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ के ऊर्ध्वाधर बिंदु

(p, q, r)

$(p, q, r)$ से जाने वाली रेखा का प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए:

1. समतल

P_{1}

$P_{1}$ और समतल

P_{2}

$P_{2}$ के सामान्य सदिश ज्ञात कीजिए, जहां सामान्य सदिश

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ और

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ हैं. यह देखने के लिए जांचें कि क्या अदिश गुणनफल 0 है.

2. पैरामीट्रिक समीकरणों का एक सेट बनाएंं जैसे कि

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , और

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. इन समीकरणों को समतल

P_{2}

$P_{2}$ के समीकरण में इस प्रकार प्रतिस्थापित करें जैसे कि

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ है और

t

$t$ के लिए इसे हल करें.

4. प्रतिच्छेदन

(x, y, z)

$(x, y, z)$ पता करने के लिए

t

$t$ के मान का उपयोग करके,

t

$t$ के लिए पैरामीट्रिक समीकरण

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , और

z = r + c t

$z = r + c t$ को हल करें.

चरण 2

प्रत्येक समतल के लिए अभिलंब सदिश पता करें और अदिश गुणनफल की गणना करके निर्धारित करें कि वे लंबवत हैं या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

P_{1}

$P_{1}$ ,

4 x - y = 2

$4 x - y = 2$ है.

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ रूप के समतल समीकरण से अभिलंब सदिश

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ ज्ञात कीजिए.

n_{1} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

चरण 2.2

P_{2}

$P_{2}$ ,

6 x - 2 y = - 1

$6 x - 2 y = - 1$ है.

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ रूप के समतल समीकरण से अभिलंब सदिश

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ ज्ञात कीजिए.

n_{2} = ⟨ 6, - 2, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 6, - 2, 0 ⟩$

चरण 2.3

सामान्य वेक्टर में संबंधित

x

$x$ ,

y

$y$ , और

z

$z$ मानों के उत्पादों को जोड़कर

n_{1}

$n_{1}$ और

n_{2}

$n_{2}$ के डॉट उत्पाद की गणना करें.

4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

चरण 2.4

अदिश गुणनफल को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

कोष्ठक हटा दें.

4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

चरण 2.4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

4

$4$ को

6

$6$ से गुणा करें.

24 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$24 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

चरण 2.4.2.2

- 1

$- 1$ को

- 2

$- 2$ से गुणा करें.

24 + 2 + 0 \cdot 0

$24 + 2 + 0 \cdot 0$

चरण 2.4.2.3

0

$0$ को

0

$0$ से गुणा करें.

24 + 2 + 0

$24 + 2 + 0$

24 + 2 + 0

$24 + 2 + 0$

चरण 2.4.3

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.1

24

$24$ और

2

$2$ जोड़ें.

26 + 0

$26 + 0$

चरण 2.4.3.2

26

$26$ और

0

$0$ जोड़ें.

26

$26$

26

$26$

26

$26$

26

$26$

चरण 3

इसके बाद, बिंदु

(p, q, r)

$(p, q, r)$ के लिए मूल

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ और

a

$a$ के मानों के लिए लंबवत सदिश

26

$26$ के मानों का उपयोग करके पैरामीट्रिक समीकरण

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ और

z = r + c t

$z = r + c t$ का एक सेट बनाएंं,

b

$b$ और

c

$c$ . पैरामीट्रिक समीकरणों का यह सेट मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा को दर्शाता है जो

P_{1}

$P_{1}$

4 x - y = 2

$4 x - y = 2$ के लंबवत है.

x = 0 + 4 \cdot t

$x = 0 + 4 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

चरण 4

x

$x$ ,

y

$y$ और

z

$z$ के व्यंजक को

P_{2}

$P_{2}$

6 x - 2 y = - 1

$6 x - 2 y = - 1$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें.

6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

चरण 5

t

$t$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

$0$ और

$4 \cdot t$ जोड़ें.

$6 (4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

चरण 5.1.1.2

$0$ में से

$1 \cdot t$ घटाएं.

$6 (4 \cdot t) - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

चरण 5.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

$4$ को

$6$ से गुणा करें.

$24 t - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

चरण 5.1.2.2

$- 1 t$ को

$- t$ के रूप में फिर से लिखें.

$24 t - 2 (- t) = - 1$

चरण 5.1.2.3

$- 1$ को

$- 2$ से गुणा करें.

$24 t + 2 t = - 1$

चरण 5.1.3

$24 t$ और

$2 t$ जोड़ें.

$26 t = - 1$

चरण 5.2

$26 t = - 1$ के प्रत्येक पद को

$26$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$26 t = - 1$ के प्रत्येक पद को

$26$ से विभाजित करें.

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

चरण 5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$26$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

चरण 5.2.2.1.2

$t$ को

$1$ से विभाजित करें.

$t = \frac{- 1}{26}$

चरण 5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$t = - \frac{1}{26}$

चरण 6

$x$ ,

$y$ और

$z$ के पैरामीट्रिक समीकरणों को

$t$ के मान का उपयोग करके हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

कोष्ठक हटा दें.

$x = 0 + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

चरण 6.1.2

कोष्ठक हटा दें.

$x = 0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$

चरण 6.1.3

$0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1.1.1

$- \frac{1}{26}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$x = 0 + 4 \cdot \frac{- 1}{26}$

चरण 6.1.3.1.1.2

$4$ में से

$2$ का गुणनखंड करें.

$x = 0 + 2 (2) \cdot \frac{- 1}{26}$

चरण 6.1.3.1.1.3

$26$ में से

$2$ का गुणनखंड करें.

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

चरण 6.1.3.1.1.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

चरण 6.1.3.1.1.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 0 + 2 \cdot \frac{- 1}{13}$

चरण 6.1.3.1.2

$2$ और

$\frac{- 1}{13}$ को मिलाएं.

$x = 0 + \frac{2 \cdot - 1}{13}$

चरण 6.1.3.1.3

$2$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$x = 0 + \frac{- 2}{13}$

चरण 6.1.3.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = 0 - \frac{2}{13}$

चरण 6.1.3.2

$0$ में से

$\frac{2}{13}$ घटाएं.

$x = - \frac{2}{13}$

चरण 6.2

$y$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

चरण 6.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$

चरण 6.2.3

$0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$- 1 (- \frac{1}{26})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.1

$- 1$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$y = 0 + 1 (\frac{1}{26})$

चरण 6.2.3.1.2

$\frac{1}{26}$ को

$1$ से गुणा करें.

$y = 0 + \frac{1}{26}$

चरण 6.2.3.2

$0$ और

$\frac{1}{26}$ जोड़ें.

$y = \frac{1}{26}$

चरण 6.3

$z$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

कोष्ठक हटा दें.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

चरण 6.3.2

कोष्ठक हटा दें.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$

चरण 6.3.3

$0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$0 (- \frac{1}{26})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1.1

$- 1$ को

$0$ से गुणा करें.

$z = 0 + 0 (\frac{1}{26})$

चरण 6.3.3.1.2

$0$ को

$\frac{1}{26}$ से गुणा करें.

$z = 0 + 0$

चरण 6.3.3.2

$0$ और

$0$ जोड़ें.

$z = 0$

चरण 6.4

$x$ ,

$y$ और

$z$ के लिए हल किए गए पैरामीट्रिक समीकरण.

$x = - \frac{2}{13}$

$y = \frac{1}{26}$

$z = 0$

$x = - \frac{2}{13}$

$y = \frac{1}{26}$

$z = 0$

चरण 7

$x$ ,

$y$ और

$z$ के लिए परिकलित मानों का उपयोग करते हुए, प्रतिच्छेदन बिंदु

$(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$ पता किया जाता है.

$(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$

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