एलजेब्रा उदाहरण
3x-y=-43x−y=−4 , x-2y=-3x−2y=−3
चरण 1
समतल P1P1 ax+by+cz=dax+by+cz=d और समतल P2P2 ex+fy+gz=hex+fy+gz=h के ऊर्ध्वाधर बिंदु (p,q,r)(p,q,r) से जाने वाली रेखा का प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए:
1. समतल P1P1 और समतल P2P2 के सामान्य सदिश ज्ञात कीजिए, जहां सामान्य सदिश n1=⟨a,b,c⟩n1=⟨a,b,c⟩ और n2=⟨e,f,g⟩n2=⟨e,f,g⟩ हैं. यह देखने के लिए जांचें कि क्या अदिश गुणनफल 0 है.
2. पैरामीट्रिक समीकरणों का एक सेट बनाएंं जैसे कि x=p+atx=p+at, y=q+bty=q+bt, और z=r+ctz=r+ct.
3. इन समीकरणों को समतल P2P2 के समीकरण में इस प्रकार प्रतिस्थापित करें जैसे कि e(p+at)+f(q+bt)+g(r+ct)=he(p+at)+f(q+bt)+g(r+ct)=h है और tt के लिए इसे हल करें.
4. प्रतिच्छेदन (x,y,z)(x,y,z) पता करने के लिए tt के मान का उपयोग करके, tt के लिए पैरामीट्रिक समीकरण x=p+atx=p+at, y=q+bty=q+bt, और z=r+ctz=r+ct को हल करें.
चरण 2
चरण 2.1
P1P1, 3x-y=-43x−y=−4 है. ax+by+cz=dax+by+cz=d रूप के समतल समीकरण से अभिलंब सदिश n1=⟨a,b,c⟩n1=⟨a,b,c⟩ ज्ञात कीजिए.
n1=⟨3,-1,0⟩n1=⟨3,−1,0⟩
चरण 2.2
P2P2, x-2y=-3x−2y=−3 है. ex+fy+gz=hex+fy+gz=h रूप के समतल समीकरण से अभिलंब सदिश n2=⟨e,f,g⟩n2=⟨e,f,g⟩ ज्ञात कीजिए.
n2=⟨1,-2,0⟩n2=⟨1,−2,0⟩
चरण 2.3
सामान्य वेक्टर में संबंधित xx, yy, और zz मानों के उत्पादों को जोड़कर n1n1 और n2n2 के डॉट उत्पाद की गणना करें.
3⋅1-1⋅-2+0⋅03⋅1−1⋅−2+0⋅0
चरण 2.4
अदिश गुणनफल को सरल बनाएंं.
चरण 2.4.1
कोष्ठक हटा दें.
3⋅1-1⋅-2+0⋅03⋅1−1⋅−2+0⋅0
चरण 2.4.2
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 2.4.2.1
33 को 11 से गुणा करें.
3-1⋅-2+0⋅03−1⋅−2+0⋅0
चरण 2.4.2.2
-1−1 को -2−2 से गुणा करें.
3+2+0⋅03+2+0⋅0
चरण 2.4.2.3
00 को 00 से गुणा करें.
3+2+03+2+0
3+2+03+2+0
चरण 2.4.3
संख्याओं को जोड़कर सरल करें.
चरण 2.4.3.1
33 और 22 जोड़ें.
5+05+0
चरण 2.4.3.2
55 और 00 जोड़ें.
55
55
55
55
चरण 3
इसके बाद, बिंदु (p,q,r)(p,q,r) के लिए मूल (0,0,0)(0,0,0) और aa के मानों के लिए लंबवत सदिश 55 के मानों का उपयोग करके पैरामीट्रिक समीकरण x=p+atx=p+at,y=q+bty=q+bt और z=r+ctz=r+ct का एक सेट बनाएंं, bb और cc. पैरामीट्रिक समीकरणों का यह सेट मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा को दर्शाता है जो P1P1 3x-y=-43x−y=−4 के लंबवत है.
x=0+3⋅tx=0+3⋅t
y=0+-1⋅ty=0+−1⋅t
z=0+0⋅tz=0+0⋅t
चरण 4
xx, yy और zz के व्यंजक को P2P2 x-2y=-3x−2y=−3 के समीकरण में प्रतिस्थापित करें.
(0+3⋅t)-2(0-1⋅t)=-3(0+3⋅t)−2(0−1⋅t)=−3
चरण 5
चरण 5.1
(0+3⋅t)-2(0-1⋅t)(0+3⋅t)−2(0−1⋅t) को सरल करें.
चरण 5.1.1
(0+3⋅t)-2(0-1⋅t)(0+3⋅t)−2(0−1⋅t) में विपरीत पदों को मिलाएं.
चरण 5.1.1.1
00 और 3⋅t3⋅t जोड़ें.
3⋅t-2(0-1⋅t)=-33⋅t−2(0−1⋅t)=−3
चरण 5.1.1.2
00 में से 1⋅t1⋅t घटाएं.
3⋅t-2(-1⋅t)=-33⋅t−2(−1⋅t)=−3
3⋅t-2(-1⋅t)=-33⋅t−2(−1⋅t)=−3
चरण 5.1.2
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.1.2.1
-1t−1t को -t−t के रूप में फिर से लिखें.
3t-2(-t)=-33t−2(−t)=−3
चरण 5.1.2.2
-1−1 को -2−2 से गुणा करें.
3t+2t=-33t+2t=−3
3t+2t=-33t+2t=−3
चरण 5.1.3
3t3t और 2t2t जोड़ें.
5t=-35t=−3
5t=-35t=−3
चरण 5.2
5t=-35t=−3 के प्रत्येक पद को 55 से भाग दें और सरल करें.
चरण 5.2.1
5t=-35t=−3 के प्रत्येक पद को 55 से विभाजित करें.
5t5=-355t5=−35
चरण 5.2.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 5.2.2.1
55 का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.2.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
5t5=-35
चरण 5.2.2.1.2
t को 1 से विभाजित करें.
t=-35
t=-35
t=-35
चरण 5.2.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 5.2.3.1
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
t=-35
t=-35
t=-35
t=-35
चरण 6
चरण 6.1
x के लिए समीकरण को हल करें.
चरण 6.1.1
कोष्ठक हटा दें.
x=0+3⋅(-1(35))
चरण 6.1.2
कोष्ठक हटा दें.
x=0+3⋅(-35)
चरण 6.1.3
0+3⋅(-35) को सरल करें.
चरण 6.1.3.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 6.1.3.1.1
3(-35) गुणा करें.
चरण 6.1.3.1.1.1
-1 को 3 से गुणा करें.
x=0-3(35)
चरण 6.1.3.1.1.2
-3 और 35 को मिलाएं.
x=0+-3⋅35
चरण 6.1.3.1.1.3
-3 को 3 से गुणा करें.
x=0+-95
x=0+-95
चरण 6.1.3.1.2
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
x=0-95
x=0-95
चरण 6.1.3.2
0 में से 95 घटाएं.
x=-95
x=-95
x=-95
चरण 6.2
y के लिए समीकरण को हल करें.
चरण 6.2.1
कोष्ठक हटा दें.
y=0-1⋅(-1(35))
चरण 6.2.2
कोष्ठक हटा दें.
y=0-1⋅(-35)
चरण 6.2.3
0-1⋅(-35) को सरल करें.
चरण 6.2.3.1
-1(-35) गुणा करें.
चरण 6.2.3.1.1
-1 को -1 से गुणा करें.
y=0+1(35)
चरण 6.2.3.1.2
35 को 1 से गुणा करें.
y=0+35
y=0+35
चरण 6.2.3.2
0 और 35 जोड़ें.
y=35
y=35
y=35
चरण 6.3
z के लिए समीकरण को हल करें.
चरण 6.3.1
कोष्ठक हटा दें.
z=0+0⋅(-1(35))
चरण 6.3.2
कोष्ठक हटा दें.
z=0+0⋅(-35)
चरण 6.3.3
0+0⋅(-35) को सरल करें.
चरण 6.3.3.1
0(-35) गुणा करें.
चरण 6.3.3.1.1
-1 को 0 से गुणा करें.
z=0+0(35)
चरण 6.3.3.1.2
0 को 35 से गुणा करें.
z=0+0
z=0+0
चरण 6.3.3.2
0 और 0 जोड़ें.
z=0
z=0
z=0
चरण 6.4
x, y और z के लिए हल किए गए पैरामीट्रिक समीकरण.
x=-95
y=35
z=0
x=-95
y=35
z=0
चरण 7
x, y और z के लिए परिकलित मानों का उपयोग करते हुए, प्रतिच्छेदन बिंदु (-95,35,0) पता किया जाता है.
(-95,35,0)
